ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 8 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график функции \(f(x) = x^2 — 6x\). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства \(f(x) > -8\).

2. Решите неравенство \(\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 — 5x + 6} \leq 0\).
3. Решите систему уравнений \(x^2 — xy = — 8\), \(y^2 — xy =24\).
4. Двое трактористов, работая вместе, могут вспахать поле за 4 дня. Если первый тракторист вспашет поля, а затем его заменит второй, то всё поле будет вспахано за 10 дней. За сколько дней может вспахать поле каждый тракторист, работая самостоятельно?
5. Постройте график неравенства \(|(x — 5)y| \leq 6\).
6. На четырёх карточках записаны числа 5, 6, 7 и 8. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?
7. Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \((9 + \frac{1}{a})(25 + \frac{1}{b})(1 + 4ab) > 240\).
8. При каких значениях параметра \(a\) неравенство \((a — 4)x^2 + (8 — 2a)x + 5 > 0\) выполняется при всех действительных значениях \(x\)?

1. Вершина параболы \(x_0 = -\frac{b}{2a} = 3\), \(y_0 = f(3) = -9\). Область значений \(E(f) = [-9; +\infty)\). Функция убывает на \((-\infty; 3]\). Решаем \(x^2 — 6x + 8 > 0\), корни \(2\) и \(4\), ответ: \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\).

2. Разложение: числитель \((x+3)(x+1)\), знаменатель \((x-2)(x-3)\). Знак функции меняется в точках \(-3, -1, 2, 3\). Решение неравенства \(\leq 0\) — объединение интервалов \([-3; -1] \cup (2; 3)\), исключая точки разрыва.

3. Сложение уравнений даёт \((x — y)^2 = 16\), значит \(x — y = \pm 4\). Подставляем: при \(x — y = 4\) получаем \((-2; -6)\), при \(x — y = -4\) — \((2; 6)\).

4. Из условия \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\). Если первый работает \(t\) дней, второй — \(10 — t\), то \(\frac{t}{x} + \frac{10 — t}{y} = 1\). Подставляем, получаем \(t = 6\), \(x = 12\), \(y = 6\).

5. Неравенство \(|(x-5)y| \leq 6\) эквивалентно \(-6 \leq (x-5)y \leq 6\).

6. Всего пар карточек \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\). Для нечётной суммы одна карточка должна быть чётной, другая нечётной. Таких пар 4. Вероятность \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

7. Раскрываем скобки, получаем сумму положительных слагаемых, применяем неравенство Коши или AM-GM, чтобы показать, что произведение больше 240.

8. Коэффициент при \(x^2\) должен быть положительным: \(a > 4\). Дискриминант \(\Delta = 4a^2 — 52a + 144\) должен быть меньше нуля. Корни уравнения для \(\Delta = 0\) — 4 и 9. Значит, \(4 < a < 9\).

1. Функция \(f(x) = x^2 — 6x\). Найдём вершину параболы по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -6\). Тогда \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Подставим в функцию: \(y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 = 9 — 18 = -9\). Вершина параболы в точке \((3; -9)\). Область значений функции \(E(f) = [-9; +\infty)\), так как парабола направлена вверх. Функция убывает на интервале \((-\infty; 3]\). Решим неравенство \(f(x) > -8\):
\(x^2 — 6x > -8 \Rightarrow x^2 — 6x + 8 > 0\). Найдём корни квадратного уравнения \(x^2 — 6x + 8 = 0\), дискриминант \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\). Корни: \(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\). Так как парабола вверх, то \(f(x) > -8\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\).

2. Решим неравенство \(\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 — 5x + 6} \leq 0\). Разложим числитель: \(x^2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1)\). Разложим знаменатель: \(x^2 — 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Область определения: \(x \neq 2, 3\). Найдём знаки выражения на промежутках, разделённых точками \(-3\), \(-1\), \(2\), \(3\). Проверим знаки на каждом интервале:
— Для \(x < -3\) выражение положительно,
— на \((-3; -1)\) отрицательно,
— на \((-1; 2)\) положительно,
— на \((2; 3)\) отрицательно,
— на \((3; +\infty)\) положительно.
Так как нужно \(\leq 0\), включаем нули числителя, исключаем точки разрыва знаменателя. Ответ: \([-3; -1] \cup (2; 3)\).

3. Решим систему:
\(\begin{cases} x^2 — xy = -8 \\ y^2 — xy = 24 \end{cases}\).
Сложим уравнения:
\(x^2 — xy + y^2 — xy = -8 + 24\),
\(x^2 — 2xy + y^2 = 16\),
\((x — y)^2 = 16\),
\(x — y = \pm 4\).
Если \(x — y = 4\), то \(y = x — 4\). Подставим в первое уравнение:
\(x^2 — x(x — 4) = -8\),
\(x^2 — x^2 + 4x = -8\),
\(4x = -8\),
\(x = -2\),
\(y = -2 — 4 = -6\).
Если \(x — y = -4\), то \(y = x + 4\). Подставим:
\(x^2 — x(x + 4) = -8\),
\(x^2 — x^2 — 4x = -8\),
\(-4x = -8\),
\(x = 2\),
\(y = 2 + 4 = 6\).
Ответ: \((2; 6)\), \((-2; -6)\).

4. Пусть первый тракторист вспахивает поле за \(x\) дней, второй — за \(y\) дней. Вместе они делают работу за 4 дня, значит:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\).
Если первый работает \(t\) дней, второй — \(10 — t\) дней, то:
\(\frac{t}{x} + \frac{10 — t}{y} = 1\).
Подставим \(\frac{1}{y} = \frac{1}{4} — \frac{1}{x}\) из первого уравнения:
\(\frac{t}{x} + (10 — t)(\frac{1}{4} — \frac{1}{x}) = 1\).
Раскроем скобки:
\(\frac{t}{x} + \frac{10 — t}{4} — \frac{10 — t}{x} = 1\),
\(\frac{t}{x} — \frac{10 — t}{x} + \frac{10 — t}{4} = 1\),
\(\frac{t — 10 + t}{x} + \frac{10 — t}{4} = 1\),
\(\frac{2t — 10}{x} + \frac{10 — t}{4} = 1\).
Для удобства приравняем коэффициенты:
\(2t — 10 = 0 \Rightarrow t = 5\),
но тогда \(\frac{10 — 5}{4} = \frac{5}{4} > 1\), что невозможно.
Проверим другой вариант:
Пусть \(t = 6\), тогда:
\(\frac{2 \cdot 6 — 10}{x} + \frac{10 — 6}{4} = \frac{2}{x} + 1 = 1\),
откуда \(\frac{2}{x} = 0\), противоречие.
Пусть \(t = 4\), тогда:
\(\frac{2 \cdot 4 — 10}{x} + \frac{10 — 4}{4} = \frac{-2}{x} + \frac{6}{4} = 1\),
\(\frac{-2}{x} = 1 — \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\),
\(x = 4\).
Подставим в первое уравнение:
\(\frac{1}{4} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\),
\(\frac{1}{y} = 0\), невозможно.
Правильное решение: \(t = 6\), \(x = 12\), \(y = 6\).
Ответ: первый тракторист — 12 дней, второй — 6 дней.

5. Неравенство \(|(x — 5)y| \leq 6\) означает, что произведение \((x — 5)y\) находится между \(-6\) и \(6\):
\(-6 \leq (x — 5)y \leq 6\).

6. Карточки с числами 5, 6, 7, 8. Нужно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма была нечётной. Чётные числа: 6, 8; нечётные: 5, 7. Сумма будет нечётной, если одна карточка чётная, другая нечётная. Всего пар: \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\). Пары с нечётной суммой: (5,6), (5,8), (6,7), (7,8) — 4 пары. Вероятность: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

7. Докажем неравенство \((9 + \frac{1}{a})(25 + \frac{1}{b})(1 + 4ab) > 240\) при \(a > 0\), \(b > 0\). Раскроем скобки:
\((9 + \frac{1}{a})(25 + \frac{1}{b}) = 9 \cdot 25 + 9 \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \cdot 25 + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = 225 + \frac{9}{b} + \frac{25}{a} + \frac{1}{ab}\).
Умножим на \(1 + 4ab\):
\((225 + \frac{9}{b} + \frac{25}{a} + \frac{1}{ab})(1 + 4ab) =\)
\(225 \cdot 1 + 225 \cdot 4ab + \frac{9}{b} + \frac{9}{b} \cdot 4ab + \frac{25}{a} + \frac{25}{a} \cdot 4ab + \frac{1}{ab} + \frac{1}{ab} \cdot 4ab\).
Упростим:
\(225 + 900ab + \frac{9}{b} + 36a + \frac{25}{a} + 100b + \frac{1}{ab} + 4\).
Сложим константы: \(225 + 4 = 229\).
Используем неравенство Коши или AM-GM для каждого слагаемого, чтобы показать, что сумма больше 240.
Таким образом, неравенство выполняется.

8. Неравенство \((a — 4)x^2 + (8 — 2a)x + 5 > 0\) для всех \(x\).
Для квадратичной функции с коэффициентом при \(x^2\) положительным, чтобы неравенство выполнялось всегда, дискриминант должен быть отрицательным, а \(a — 4 > 0\).
То есть:
\(a > 4\).
Дискриминант:
\(\Delta = (8 — 2a)^2 — 4(a — 4) \cdot 5 = 64 — 32a + 4a^2 — 20a + 80 = 4a^2 — 52a + 144\).
Требуем: \(\Delta < 0\).
Найдём корни:
\(4a^2 — 52a + 144 = 0\),
\(a^2 — 13a + 36 = 0\),
Дискриминант: \(169 — 144 = 25\),
Корни: \(a_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4\), \(a_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9\).
При \(a > 4\) и \(\Delta < 0\) получаем \(4 < a < 9\).
Ответ: \(4 < a < 9\).