ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 8 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график функции \(f(x) = -x^2 +6x\). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства \(f(x) < 5\).

2. Решите неравенство \(\frac{x^2 + 4x + 8}{x^2 — 4x + 3} \leq 0\).
3. Решите систему уравнений \(x^2 + xy = 6\), \(xy + y^2 = 3\).
4. Две строительные бригады, работая вместе, могут заасфальтировать участок трассы за 20 дней. Если первая бригада заасфальтирует \(\frac{1}{6}\) части участка трассы, а затем её заменит вторая, то весь участок трассы будет заасфальтирован за 35 дней. За сколько дней каждая из бригад может заасфальтировать этот участок трассы, работая самостоятельно?
5. Постройте график неравенства \(|(x — 2)y| > 0\).
6. На четырёх карточках записаны числа 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу 3?
7. Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \((1+\frac{1}{a})(4+\frac{1}{b})(1+16ab) > 64\).
8. При каких значениях параметра \(a\) неравенство \((4 — 6)x^2 + (12 — 24)x +7 > 0\) выполняется при всех действительных значениях \(x\)?

1. Функция \(f(x) = -x^2 + 6x\). Вершина в точке \(x_0 = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3\), \(y_0 = f(3) = -9 + 18 = 9\). Область значений \(E(f) = (-\infty; 9]\). Функция убывает на \([3; +\infty)\). Решаем \(f(x) < 5\): \(-x^2 + 6x < 5\) \(\Rightarrow\) \(x^2 — 6x + 5 > 0\). Корни \(x=1\) и \(x=5\). Значит, \(f(x) < 5\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\).

2. Решаем \(\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 — 4x + 3} \leq 0\). Числитель раскладываем: \((x+4)(x+2)\), знаменатель: \((x-1)(x-3)\). Знак дроби меняется в точках \(-4, -2, 1, 3\). Решение: \([-4; -2] \cup (1; 3)\).

3. Система: \(x^2 + xy = 6\), \(xy + y^2 = 3\). Складываем: \(x^2 + 2xy + y^2 = 9\), значит \((x + y)^2 = 9\), \(x + y = \pm 3\). Подставляем \(y = \pm 3 — x\) в первое уравнение: \(x^2 + x(\pm 3 — x) = 6\), упрощаем: \(\pm 3x = 6\), \(x = \pm 2\). Тогда \(y = \pm 3 \mp 2 = \pm 1\). Ответ: \((2; 1)\) и \((-2; -1)\).

4. Пусть \(x\) и \(y\) — время работы первой и второй бригад. Совместная работа: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\). Первая бригада делает \(\frac{1}{6}\) участка за \(\frac{x}{6}\) дней, вторая — остальное за \(\frac{5y}{6}\) дней, всего 35 дней: \(\frac{x}{6} + \frac{5y}{6} = 35\). Умножаем на 6: \(x + 5y = 210\). Решаем систему:
\(x + 5y = 210\)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\).
Подставляем \(x = 210 — 5y\) во второе:
\(\frac{1}{210 — 5y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\). Решая квадратное уравнение, получаем \(y = 28\), \(x = 70\). Ответ: 70 и 28 дней.

5. Неравенство \(|x|(y — 2) \geq 0\). Значит \(x=0\) или \(y \geq 2\). График — вся плоскость выше линии \(y=2\) и ось \(x=0\).

6. На карточках числа 3, 4, 5, 6. Всего пар \(C_4^2 = 6\). Произведение кратно 3, если есть 3 или 6 в паре. Пары: (3,4), (3,5), (3,6), (6,4), (6,5) — 5 штук. Вероятность \(\frac{5}{6}\).

7. Докажем для \(a > 0, b > 0\): \((1 + \frac{1}{a})(4 + \frac{1}{b})(1 + 16ab) \geq 64\).
По неравенству Коши:
\(1 + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}}\),
\(4 + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{4 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{4}{\sqrt{b}}\),
\(1 + 16ab \geq 2 \sqrt{16ab} = 8 \sqrt{ab}\).
Перемножим:
\(\frac{2}{\sqrt{a}} \cdot \frac{4}{\sqrt{b}} \cdot 8 \sqrt{ab} = 64\).

8. Неравенство \((a — 6)x^2 + (12 — 2a)x + 7 > 0\) для всех \(x\) верно, если дискриминант \(D < 0\).
\(D = (12 — 2a)^2 — 4(a — 6) \cdot 7 < 0\).
Раскроем:
\(144 — 48a + 4a^2 — 28a + 168 < 0\),
\(4a^2 — 76a + 312 < 0\),
\(a^2 — 19a + 78 < 0\).
Корни: \(a = 6\) и \(a = 13\). Значит,
\(6 < a < 13\).

1. Функция \(f(x) = -x^2 + 6x\). Найдем вершину параболы. Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), при \(x\) — 6. Вершина находится в точке \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3\). Подставим в функцию: \(f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9\). Значит, максимум функции равен 9. Область значений функции: \(E(f) = (-\infty; 9]\). Функция убывает на промежутке \([3; +\infty)\), так как график параболы направлен вниз.

Решим неравенство \(f(x) < 5\). Подставим: \(-x^2 + 6x < 5\). Переносим всё в одну сторону: \(-x^2 + 6x — 5 < 0\). Умножаем на \(-1\) и меняем знак неравенства: \(x^2 — 6x + 5 > 0\). Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 — 6x + 5 = 0\). Дискриминант \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\). Корни: \(x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5\). Парабола вверх, значит неравенство \(>0\) выполняется при \(x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\).

2. Решим неравенство \(\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 — 4x + 3} \leq 0\). Числитель раскладываем на множители: \(x^2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)\). Знаменатель раскладываем: \(x^2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3)\). Найдем нули числителя и знаменателя: числитель равен нулю при \(x = -4\) и \(x = -2\), знаменатель при \(x = 1\) и \(x = 3\).

Построим числовую ось и определим знаки выражения на промежутках, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

Согласно знакам, неравенство \(\leq 0\) выполняется там, где дробь отрицательна или равна нулю. Значит, решение: \([-4; -2] \cup (1; 3)\).

3. Решим систему уравнений:
\(x^2 + xy = 6\),
\(xy + y^2 = 3\).

Сложим оба уравнения:
\(x^2 + 2xy + y^2 = 9\). Это можно записать как \((x + y)^2 = 9\). Значит,
\(x + y = 3\) или \(x + y = -3\).

Подставим \(y = 3 — x\) в первое уравнение:
\(x^2 + x(3 — x) = 6\),
\(x^2 + 3x — x^2 = 6\),
\(3x = 6\),
\(x = 2\). Тогда \(y = 3 — 2 = 1\).

Теперь подставим \(y = -3 — x\) в первое уравнение:
\(x^2 + x(-3 — x) = 6\),
\(x^2 — 3x — x^2 = 6\),
\(-3x = 6\),
\(x = -2\). Тогда \(y = -3 — (-2) = -1\).

Ответ: \((2; 1)\) и \((-2; -1)\).

4. Пусть первая бригада выполняет работу за \(x\) дней, вторая — за \(y\) дней. Тогда за один день первая делает \(\frac{1}{x}\) работы, вторая — \(\frac{1}{y}\). Вместе они делают \(\frac{1}{20}\) работы в день, значит:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\).

Первая бригада сделала \(\frac{1}{6}\) работы, это заняло \(\frac{x}{6}\) дней. Вторая бригада сделала оставшуюся часть — \(\frac{5}{6}\) работы, за \(\frac{5y}{6}\) дней. Всего работа заняла 35 дней:
\(\frac{x}{6} + \frac{5y}{6} = 35\). Умножим на 6:
\(x + 5y = 210\).

Решаем систему:
\(x + 5y = 210\),
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\).

Выразим \(x = 210 — 5y\) и подставим во второе уравнение:
\(\frac{1}{210 — 5y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\). Найдем общий знаменатель и решим уравнение, получим \(y = 28\). Тогда \(x = 210 — 5 \cdot 28 = 210 — 140 = 70\).

Ответ: первая бригада — 70 дней, вторая — 28 дней.

5. Неравенство \(|x|(y — 2) \geq 0\). Модуль \(|x|\) всегда неотрицателен. Умножение на \((y — 2)\) должно быть неотрицательным. Значит, либо \(|x| = 0\), то есть \(x = 0\), либо \(y — 2 \geq 0\), то есть \(y \geq 2\).

Ответ: все точки с \(x = 0\) или с \(y \geq 2\).

6. На карточках числа 3, 4, 5, 6. Всего пар без повторений: \(C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\).

Произведение пары кратно 3, если хотя бы одно из чисел кратно 3. Числа, кратные 3 — 3 и 6.

Пары с 3: (3,4), (3,5), (3,6). Пары с 6, кроме уже учтенной (3,6): (6,4), (6,5).

Всего таких пар 5.

Вероятность: \(\frac{5}{6}\).

7. Докажем неравенство для \(a > 0, b > 0\):
\((1 + \frac{1}{a})(4 + \frac{1}{b})(1 + 16ab) \geq 64\).

По неравенству Коши-Буняковского:
\(1 + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}}\),
\(4 + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{4 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{4}{\sqrt{b}}\),
\(1 + 16ab \geq 2 \sqrt{16ab} = 8 \sqrt{ab}\).

Перемножим эти три неравенства:
\(\left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(4 + \frac{1}{b}\right)(1 + 16ab) \geq \frac{2}{\sqrt{a}} \cdot \frac{4}{\sqrt{b}} \cdot 8 \sqrt{ab} = 64\).

8. Неравенство \((a — 6)x^2 + (12 — 2a)x + 7 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\) верно, если коэффициент при \(x^2\) положителен и дискриминант отрицателен.

Коэффициент при \(x^2\): \(a — 6\). Для положительности: \(a — 6 > 0\), значит \(a > 6\).

Дискриминант:
\(D = (12 — 2a)^2 — 4 (a — 6) \cdot 7 < 0\).

Раскроем скобки:
\(D = 144 — 48a + 4a^2 — 28a + 168 < 0\),
\(4a^2 — 76a + 312 < 0\),
\(a^2 — 19a + 78 < 0\).

Найдем корни квадратного уравнения:
\(D_1 = 19^2 — 4 \cdot 78 = 361 — 312 = 49\),
\(a_1 = \frac{19 — 7}{2} = 6\),
\(a_2 = \frac{19 + 7}{2} = 13\).

Парабола вверх, значит неравенство \(<0\) выполняется при \(6 < a < 13\). Объединим условие с положительностью коэффициента при \(x^2\): \(a > 6\) и \(6 < a < 13\) дают итог:
\(6 < a < 13\).