ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 1 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите область определения функции \(f(x)=\sqrt{3x-2}+1/(x^2-x-2)\).
2. Найдите область значений функции:
1) \(y=5-(x^7)/x\); 2) \(y=(x-1)/x^2\).
3. Даны функции \(f(x)=3x+1\) и \(g(x)=x^2-3\). Задайте формулой функцию: 1) \(g(2x)\); 2) \(f(g(x))\).
4. Постройте график функции \(y=(6-2x)/(x^2-3x)\).
5. Известно, что \(D(f)=[-1; 6]\). Найдите область определения функции \(y=f(x-5)\).

1. Область определения функции \(f(x)=\sqrt{3x-2}+1/(x^2-x-2)\) находится из условия \(x^2-x-2\neq 0\), что дает \(\left[\frac{1-\sqrt{9+8}}{2}, \frac{1+\sqrt{9+8}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{9+8}}{2}, \infty\right)\).

2. Область значений:
1) \(y=5-(x^7)/x\): \(x\neq 0\), \(y<5\), т.е. \(E(y)=(-\infty, 5)\);
2) \(y=(x-1)/x^2\): \(yx^2=x-1\), \(yx^2-x+1=0\), \(D=1^2-4\cdot y\geq 0\), \(4y\leq 1\), \(y\leq 0.25\), т.е. \(E(y)=(-\infty, 0.25]\).

3. Формулы функций:
1) \(g(2x)=(2x)^2-3=4x^2-3\), т.е. \(y=4x^2-3\);
2) \(f(g(x))=3(x^2-3)+1=3x^2-9+1=3x^2-8\), т.е. \(y=3x^2-8\).

4. Область определения функции \(y=\frac{6-2x}{x^2-3x}\) находится из условия \(x(x-3)\neq 0\), т.е. \(x\neq 0, x\neq 3\). График функции построен.

5. Область определения функции \(y=f(x-5)\) находится из условия \(-1\leq x-5\leq 6\), т.е. \(4\leq x\leq 11\). Ответ: \(D(f)=[4; 11]\).

1. Для функции \(f(x)=\sqrt{3x-2}+\frac{1}{x^2-x-2}\) область определения находится из условия \(x^2-x-2\neq 0\). Решая это неравенство, получаем, что \(x\in\left(\frac{1-\sqrt{9+8}}{2}, \frac{1+\sqrt{9+8}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{9+8}}{2}, \infty\right)\). Таким образом, область определения функции \(f(x)\) — это объединение двух интервалов: \(\left(\frac{1-\sqrt{9+8}}{2}, \frac{1+\sqrt{9+8}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{1+\sqrt{9+8}}{2}, \infty\right)\). Чтобы найти эти интервалы, мы решаем квадратное неравенство \(x^2-x-2\neq 0\), используя формулу дискриминанта \(D=b^2-4ac\). В данном случае \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-2\), поэтому \(D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=9+8=17\). Далее находим корни этого неравенства: \(x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\). Таким образом, получаем два интервала, объединение которых и является областью определения функции \(f(x)\).

2. Для первой функции области значений \(y=5-\frac{x^7}{x}\) имеем \(x\neq 0\) и \(y<5\), поэтому область значений — это \((-\infty, 5)\). Чтобы найти область значений, мы должны решить неравенство \(y<5\), которое приводит к \(5-\frac{x^7}{x}<5\), или \(\frac{x^7}{x}>0\). Так как \(x\neq 0\), это неравенство всегда выполняется, поэтому область значений — это \((-\infty, 5)\). Для второй функции области значений \(y=\frac{x-1}{x^2}\) решаем уравнение \(yx^2=x-1\) и находим, что \(D=1^2-4\cdot y\geq 0\) и \(4y\leq 1\), откуда следует, что \(y\leq 0.25\). Таким образом, область значений второй функции — это \((-\infty, 0.25]\).

3. Для функций \(f(x)=3x+1\) и \(g(x)=x^2-3\) имеем: \(g(2x)=(2x)^2-3=4x^2-3\), то есть \(y=4x^2-3\); \(f(g(x))=3(x^2-3)+1=3x^2-9+1=3x^2-8\), то есть \(y=3x^2-8\). Чтобы найти эти композиции, мы подставляем значения функций \(f(x)\) и \(g(x)\) в соответствующие выражения. Для \(g(2x)\) мы заменяем \(x\) на \(2x\) в функции \(g(x)\), а для \(f(g(x))\) мы подставляем \(g(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\).

4. Для функции \(y=\frac{6-2x}{x^2-3x}\) область определения находится из условия \(x(x-3)\neq 0\), то есть \(x\neq 0, x\neq 3\). График этой функции построен. Чтобы найти область определения, мы должны решить неравенство \(x(x-3)\neq 0\), которое приводит к \(x\neq 0\) и \(x\neq 3\). Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел, кроме 0 и 3.

5. Для функции \(y=f(x-5)\), если известно, что \(D(f)=[-1, 6]\), то область определения \(y=f(x-5)\) находится из условия \(-1\leq x-5\leq 6\), то есть \(4\leq x\leq 11\). Таким образом, \(D(f)=[4, 11]\). Чтобы найти область определения \(y=f(x-5)\), мы должны решить неравенство \(-1\leq x-5\leq 6\), которое приводит к \(4\leq x\leq 11\). Это и есть область определения функции \(y=f(x-5)\).