ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 1 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите область определения функции \(f(x)=\sqrt{2x-3}+\frac{1}{x^2-x-6}\).

2. Найдите область значений функций:
1) \(y=2+\frac{x+3}{x}\);
2) \(y=\frac{x-3}{x^2}\).

3. Даны функции \(f(x)=3x-2\) и \(g(x)=x^2-1\). Задайте формулой функцию:
1) \(g(5x)\);
2) \(f(g(x))\).

4. Постройте график функции \(y=\frac{12-3x}{x^2-4x}\).

5. Известно, что \(D(f)=[2; 4]\). Найдите область определения функции \(y=f(x-1)\).

1. Область определения функции \(f(x) = \sqrt{2x-3} + \frac{1}{x^2-x-6}\) определяется условием \(x^2-x-6 \neq 0\), что эквивалентно \(x_1 = \frac{1-\sqrt{25}}{2} \approx -2\) и \(x_2 = \frac{1+\sqrt{25}}{2} \approx 3\). Таким образом, область определения функции \(f(x)\) равна \([1.5; 3) \cup (3; +\infty)\).

2. Область значений функций:
1) \(y = 2 + \frac{x+3}{x}\): \(x \neq 0\), \(y > 2+0 = 2\), следовательно, область значений \(E(y) = (2; +\infty)\).
2) \(y = \frac{x-3}{x^2}\): \(yx^2 = x-3\), \(yx^2-x+3 = 0\), \(D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot y \geq 0\), \(12y \leq 1\), \(y \leq \frac{1}{12}\), следовательно, область значений \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{12}]\).

3. Формулы функций:
1) \(g(5x) = (5x)^2 — 1 = 25x^2 — 1\), следовательно, \(y = 25x^2 — 1\).
2) \(f(g(x)) = 3(x^2 — 1) — 2 = 3x^2 — 3 — 2 = 3x^2 — 5\), следовательно, \(y = 3x^2 — 5\).

4. График функции \(y = \frac{12-3x}{x^2-4x}\) построен на рисунке.

5. Область определения функции \(y = f(x-1)\) определяется условиями \(-2 \leq x-1 \leq 4\), или \(-1 \leq x \leq 5\). Таким образом, область определения функции \(y = f(x-1)\) равна \([-1; 5]\).

1. Область определения функции \(f(x) = \sqrt{2x-3} + \frac{1}{x^2-x-6}\) находится из условия \(x^2-x-6 \neq 0\). Решая это неравенство, получаем \(x_1 = \frac{1-\sqrt{25}}{2} \approx -2\) и \(x_2 = \frac{1+\sqrt{25}}{2} \approx 3\). Таким образом, область определения функции \(f(x)\) равна \([1.5; 3) \cup (3; +\infty)\). Это означает, что функция \(f(x)\) определена для всех значений \(x\), кроме \(x = -2\) и \(x = 3\), так как в этих точках знаменатель дроби \(x^2-x-6\) обращается в ноль, что недопустимо.

2. Рассмотрим область значений функций:
1) Для функции \(y = 2 + \frac{x+3}{x}\) область значений \(E(y)\) определяется условием \(x \neq 0\), так как при \(x = 0\) функция не определена. Поскольку \(y > 2+0 = 2\), то область значений \(E(y) = (2; +\infty)\).
2) Для функции \(y = \frac{x-3}{x^2}\) имеем \(yx^2 = x-3\), \(yx^2-x+3 = 0\), \(D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot y \geq 0\), \(12y \leq 1\), \(y \leq \frac{1}{12}\). Следовательно, область значений \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{12}]\).

3. Рассмотрим формулы функций:
1) Для \(g(5x) = (5x)^2 — 1 = 25x^2 — 1\) имеем \(y = 25x^2 — 1\). Таким образом, функция \(g(5x)\) преобразуется в квадратичную функцию \(y = 25x^2 — 1\).
2) Для \(f(g(x)) = 3(x^2 — 1) — 2 = 3x^2 — 3 — 2 = 3x^2 — 5\) имеем \(y = 3x^2 — 5\). Здесь функция \(f(g(x))\) также преобразуется в квадратичную функцию \(y = 3x^2 — 5\).

4. График функции \(y = \frac{12-3x}{x^2-4x}\) построен на рисунке. Данная функция является рациональной дробью, где числитель и знаменатель — многочлены второй степени.

5. Область определения функции \(y = f(x-1)\) определяется условиями \(-2 \leq x-1 \leq 4\), или \(-1 \leq x \leq 5\). Таким образом, область определения функции \(y = f(x-1)\) равна \([-1; 5]\). Это означает, что функция \(f(x-1)\) определена для всех значений \(x\) от -1 до 5 включительно.