ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 10 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. При каких значениях параметра \( a \) все корни уравнения \( x^2 — (2a + 3)x + 6 = 0 \) принадлежат промежутку \( (1; 4) \)?
2. Найдите все значения параметра \( a \), при которых один из корней квадратного уравнения \( ax^2 + x — 3 = 0 \) больше 2, а другой меньше 2.
3. При каких значениях параметра \( a \) корни уравнения \( x^3 — (2a + 6)x^2 + 42x — 54 + 6 = 0 \) являются положительными числами?

1. \(x^2 — (2a + 3)x + 6a = 0\)

Дискриминант: \(D = (2a + 3)^2 — 4 \cdot 6a = 4a^2 — 12a + 9 = (2a — 3)^2\)

Корни: \(x_1 = \frac{(2a + 3) — (2a — 3)}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{(2a + 3) + (2a — 3)}{2} = 2a\)

Корни на промежутке \(1 < x < 4\): \(1 < 3 < 4\) и \(1 < 2a < 4 \Rightarrow 0.5 < a < 2\)

Ответ: \((0.5; 2)\)

2. \(ax^2 + x — 3 = 0\)

Подставим \(x=2\): \(f(2) = 4a + 2 — 3 = 4a — 1\)

Если \(a > 0\), то \(4a — 1 < 0 \Rightarrow a < 0.25\)

Если \(a < 0\), то \(4a — 1 > 0 \Rightarrow a > 0.25\) (противоречие)

Ответ: \((0; 0.25)\)

3. \(x^2 — (2a + 6)x + a^2 — 5a + 6 = 0\)

Дискриминант: \(D = (2a + 6)^2 — 4(a^2 — 5a + 6) = 44a + 12 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{3}{11}\)

Сумма корней: \(2a + 6 > 0 \Rightarrow a > -3\)

Произведение корней: \(a^2 — 5a + 6 > 0\), корни \(2\) и \(3\), значит \(a < 2\) или \(a > 3\)

Ответ: \(\left[-\frac{3}{11}; 2\right) \cup (3; +\infty)\)

1. Рассмотрим уравнение \(x^2 — (2a + 3)x + 6a = 0\). Чтобы найти корни, вычислим дискриминант: \(D = (2a + 3)^2 — 4 \cdot 6a = 4a^2 + 12a + 9 — 24a = 4a^2 — 12a + 9 = (2a — 3)^2\). Корни уравнения находятся по формуле: \(x_{1,2} = \frac{2a + 3 \pm (2a — 3)}{2}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{(2a + 3) — (2a — 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3\). Второй корень: \(x_2 = \frac{(2a + 3) + (2a — 3)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a\).

Чтобы оба корня были в интервале \( (1; 4) \), проверяем: \(1 < 3 < 4\) — выполняется. Для второго корня: \(1 < 2a < 4\), следовательно, \(0.5 < a < 2\). Значит, все корни принадлежат промежутку \( (1; 4) \), если \(a\) принадлежит интервалу \( (0.5; 2)\).

2. Рассмотрим уравнение \(a x^2 + x — 3 = 0\). Чтобы один корень был больше 2, а другой меньше 2, значение функции в точке \(x=2\) должно быть меньше нуля, то есть \(f(2) < 0\). Подставим: \(f(2) = a \cdot 2^2 + 2 — 3 = 4a — 1\). Значит, \(4a — 1 < 0\), откуда \(a < \frac{1}{4} = 0.25\).

Также для существования корней дискриминант должен быть неотрицателен: \(D = 1^2 — 4 \cdot a \cdot (-3) = 1 + 12a \geq 0\), следовательно, \(a \geq -\frac{1}{12}\).

Объединяя условия, получаем \(a \in \left[-\frac{1}{12}; 0.25\right)\).

3. Рассмотрим уравнение \(x^2 — (2a + 6)x + a^2 — 5a + 6 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (2a + 6)^2 — 4(a^2 — 5a + 6) = 4a^2 + 24a + 36 — 4a^2 + 20a — 24 = 44a + 12\). Для существования корней необходимо \(D \geq 0\), значит, \(44a + 12 \geq 0\), откуда \(a \geq -\frac{3}{11}\).

Сумма корней равна \(x_1 + x_2 = 2a + 6\). Для того чтобы корни были положительными, сумма должна быть больше нуля, то есть \(2a + 6 > 0\), значит \(a > -3\).

Произведение корней равно \(x_1 x_2 = a^2 — 5a + 6\). Чтобы корни были положительными, произведение должно быть больше нуля: \(a^2 — 5a + 6 > 0\). Решим неравенство. Корни квадратного уравнения \(a^2 — 5a + 6 = 0\) — это \(a = 2\) и \(a = 3\). Парабола направлена вверх, значит, неравенство выполняется при \(a < 2\) или \(a > 3\).

Объединяя все условия, получаем: \(a \geq -\frac{3}{11}\), \(a > -3\), и \(a < 2\) или \(a > 3\). Значит, \(a \in \left[-\frac{3}{11}; 2\right) \cup (3; +\infty)\).