Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 10 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
- При каких значениях параметра \( a \) все корни уравнения \( x^2 + (3a — 4)x — 12a = 0 \) принадлежат промежутку \((-1; 5)\)?
- Найдите все значения параметра \( a \), при которых один из корней квадратного уравнения \( x^2 — x + 2 = 0 \) больше \(-3\), а другой меньше \(-3\).
- При каких значениях параметра \( a \) корни уравнения \( x^2 + (2a + 8)x + a^2 — 3a — 10 = 0 \) являются отрицательными числами?
1. Уравнение \(x^2 + (3a — 4)x — 12a = 0\).
Дискриминант \(D = (3a — 4)^2 + 4 \cdot 12a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a + 4)^2\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-(3a — 4) — (3a + 4)}{2} = -3a\),
\(x_2 = \frac{-(3a — 4) + (3a + 4)}{2} = 4\).
Корни в промежутке \((-1; 5)\):
\(-1 < -3a < 5\),
умножаем на \(-\frac{1}{3}\) меняем знаки:
\(-\frac{5}{3} < a < \frac{1}{3}\).
Ответ: \(\left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\).
2. Уравнение \(ax^2 — x + 2 = 0\).
Пусть \(f(x) = a x^2 — x + 2\).
Проверим \(f(-3) = 9a + 3 + 2 = 9a + 5\).
Если \(a > 0\), хотим \(f(-3) < 0\), тогда \(9a + 5 < 0\) — невозможно.
Если \(a < 0\), хотим \(f(-3) > 0\), тогда \(9a + 5 > 0\),
\(a > -\frac{5}{9}\).
Ответ: \(\left(-\frac{5}{9}; 0\right)\).
3. Уравнение \(x^2 + (2a + 8)x + a^2 — 3a — 10 = 0\).
Дискриминант:
\(D = (2a + 8)^2 — 4(a^2 — 3a — 10) = 44a + 104 \geq 0\),
\(a \geq -\frac{26}{11}\).
Сумма корней: \(- (2a + 8) < 0 \Rightarrow a > -4\).
Произведение корней: \(a^2 — 3a — 10 > 0\),
\((a — 5)(a + 2) > 0\),
\(a < -2\) или \(a > 5\).
Объединяем:
\(a \geq -\frac{26}{11}\), \(a > -4\), \(a < -2\) или \(a > 5\).
Ответ: \(\left[-\frac{26}{11}; -2\right) \cup (5; +\infty)\).
1. Рассмотрим уравнение \(x^2 + (3a — 4)x — 12a = 0\). Найдём дискриминант:
\(D = (3a — 4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12a) = (3a — 4)^2 + 48a = 9a^{2} — 24a + 16 + 48a =\)
\(= 9a^{2} + 24a + 16\).
Обозначим: \(D = (3a + 4)^2\).
2. Найдём корни уравнения по формуле:
\(x = \frac{-(3a — 4) \pm \sqrt{D}}{2}\).
Подставим \(D = (3a + 4)^2\):
\(x_1 = \frac{-(3a — 4) — (3a + 4)}{2} = \frac{-3a + 4 — 3a — 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a\),
\(x_2 = \frac{-(3a — 4) + (3a + 4)}{2} = \frac{-3a + 4 + 3a + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
3. Условие, что оба корня лежат в промежутке \((-1; 5)\):
\(-1 < -3a < 5\).
4. Решим двойное неравенство:
Умножим на \(-\frac{1}{3}\), при этом знак неравенств меняется:
\(-\frac{5}{3} < a < \frac{1}{3}\).
5. Ответ для первого задания:
\(a \in \left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\).
6. Рассмотрим уравнение \(ax^{2} — x + 2 = 0\). Пусть функция \(f(x) = a x^{2} — x + 2\).
7. Проверим значение функции в точке \(x = -3\):
\(f(-3) = a \cdot 9 + 3 + 2 = 9a + 5\).
8. Чтобы корни были по разные стороны от \(-3\), значение функции в точке \(-3\) должно иметь знак, противоположный знаку коэффициента при \(x^{2}\):
Если \(a > 0\), тогда \(f(-3) < 0\), то есть:
\(9a + 5 < 0 \Rightarrow a < -\frac{5}{9}\), что невозможно при \(a > 0\).
Если \(a < 0\), тогда \(f(-3) > 0\), то есть:
\(9a + 5 > 0 \Rightarrow a > -\frac{5}{9}\).
9. Объединяем условие для \(a < 0\):
\(-\frac{5}{9} < a < 0\).
10. Ответ для второго задания:
\(a \in \left(-\frac{5}{9}; 0\right)\).
11. Рассмотрим уравнение \(x^{2} + (2a + 8)x + a^{2} — 3a — 10 = 0\).
12. Найдём дискриминант:
\(D = (2a + 8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} — 3a — 10) = 4a^{2} + 32a + 64 — 4a^{2} + 12a + 40 =\)
\(= 44a + 104\).
13. Условие существования корней:
\(D \geq 0 \Rightarrow 44a + 104 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{26}{11}\).
14. Сумма корней:
\(x_1 + x_2 = -(2a + 8)\).
Для отрицательных корней сумма должна быть отрицательной, значит:
\(-(2a + 8) < 0 \Rightarrow 2a + 8 > 0 \Rightarrow a > -4\).
15. Произведение корней:
\(x_1 x_2 = a^{2} — 3a — 10\).
Для отрицательных корней произведение положительно:
\(a^{2} — 3a — 10 > 0\).
16. Решим неравенство:
\(a^{2} — 3a — 10 = (a — 5)(a + 2) > 0\),
значит,
\(a < -2\) или \(a > 5\).
17. Объединим все условия:
\(a \geq -\frac{26}{11}\), \(a > -4\), \(a < -2\) или \(a > 5\).
18. Пересечение условий даёт:
\(a \in \left[-\frac{26}{11}; -2\right) \cup (5; +\infty)\).
19. Ответ для третьего задания:
\(a \in \left[-\frac{26}{11}; -2\right) \cup (5; +\infty)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.