ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 10 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. При каких значениях параметра \( a \) все корни уравнения \( x^2 + (5a + 2)x + 10a = 0 \) принадлежат промежутку \((-3; 1)\)?
2. Найдите все значения параметра \( a \), при которых один из корней квадратного уравнения \( ax^2 + x + 4 = 0 \) больше 3, а другой меньше 3.
3. При каких значениях параметра \( a \) корни уравнения \( x^2 + (2a — 14)x + a^2 — a — 12 = 0 \) являются положительными числами?

1. Уравнение \(x^2 + (3a — 4)x — 12a = 0\).
Сумма корней \(x_1 + x_2 = 4 — 3a\), произведение \(x_1 x_2 = -12a\).
Условие, что корни в \((-1; 5)\):
\( -2 < 4 — 3a < 10 \Rightarrow -6 < -3a < 6 \Rightarrow 2 > a > -2 \).
Проверяем значения функции:
\(f(-1) = 5 — 15a > 0 \Rightarrow a < \frac{1}{3}\),
\(f(5) = 5 + 3a > 0 \Rightarrow a > -\frac{5}{3}\).
Ответ: \(a \in \left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\).

2. Уравнение \(x^2 — x + a = 0\).
Чтобы корни были по разные стороны от \(-3\), \(f(-3) < 0\):
\(9 + 3 + a < 0 \Rightarrow 12 + a < 0 \Rightarrow a < -12\).
Ответ: \(a < -12\).

3. Уравнение \(x^2 + (2a + 8)x + a^2 — 3a — 10 = 0\).
Сумма корней \(-2a — 8\), произведение \(a^2 — 3a — 10\).
Корни отрицательные, значит:
\(-2a — 8 < 0 \Rightarrow a > -4\),
\(a^2 — 3a — 10 > 0 \Rightarrow a < -2 \text{ или } a > 5\),
дискриминант \(D = 44a + 104 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{26}{11}\).
Объединяем:
\(a \in \left[-\frac{26}{11}; -2\right) \cup (5; +\infty)\).

1. Рассмотрим уравнение \(x^2 + (3a — 4)x — 12a = 0\). Обозначим корни как \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета сумма корней равна \(x_1 + x_2 = 4 — 3a\), а произведение корней равно \(x_1 x_2 = -12a\).

Для того чтобы оба корня лежали в интервале \((-1; 5)\), необходимо, чтобы сумма корней была больше суммы границ интервала и меньше суммы верхних границ, то есть \( -2 < 4 — 3a < 10\). Решаем неравенство: вычитаем 4 из всех частей, получаем \( -6 < -3a < 6\). Делим на \(-3\), меняя знак неравенств: \(2 > a > -2\), то есть \( -2 < a < 2\).

Далее проверим, что значения функции в точках \(-1\) и \(5\) положительны, чтобы корни действительно были внутри интервала. Вычисляем \(f(-1) = 1 — (3a — 4) — 12a = 5 — 15a\). Для положительности \(5 — 15a > 0\), значит \(a < \frac{1}{3}\). Аналогично, \(f(5) = 25 + 5(3a — 4) — 12a = 5 + 3a\), для положительности \(5 + 3a > 0\), значит \(a > -\frac{5}{3}\).

Объединяем все условия: \( -2 < a < 2\), \(a < \frac{1}{3}\), \(a > -\frac{5}{3}\). Пересечение этих интервалов даёт \(a \in \left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\).

2. Рассмотрим уравнение \(x^2 — x + a = 0\). По теореме Виета сумма корней равна \(x_1 + x_2 = 1\), произведение корней равно \(x_1 x_2 = a\).

Чтобы один корень был меньше \(-3\), а другой больше \(-3\), точка \(-3\) должна находиться между корнями. Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, значение функции в точке \(-3\) должно быть отрицательным: \(f(-3) < 0\).

Вычисляем: \(f(-3) = 9 + 3 + a = 12 + a\). Неравенство \(12 + a < 0\) даёт \(a < -12\).

3. Рассмотрим уравнение \(x^2 + (2a + 8)x + a^2 — 3a — 10 = 0\). По теореме Виета сумма корней равна \(x_1 + x_2 = -2a — 8\), произведение корней равно \(a^2 — 3a — 10\).

Для того чтобы оба корня были отрицательными, сумма корней должна быть отрицательной: \(-2a — 8 < 0\), откуда \(a > -4\). Произведение корней должно быть положительным: \(a^2 — 3a — 10 > 0\).

Решаем неравенство \(a^2 — 3a — 10 > 0\). Находим корни квадратного уравнения \(a^2 — 3a — 10 = 0\) по формуле: \(a = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}\). Корни равны \(a_1 = -2\), \(a_2 = 5\). Так как парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при \(a < -2\) или \(a > 5\).

Проверим существование корней, вычислив дискриминант: \(D = (2a + 8)^2 — 4(a^2 — 3a — 10) = 4a^2 + 32a + 64 — 4a^2 + 12a + 40 = 44a + 104\). Для существования корней \(D \geq 0\), значит \(44a + 104 \geq 0\), откуда \(a \geq -\frac{26}{11}\).

Объединяем все условия: \(a > -4\), \(a \geq -\frac{26}{11}\), \(a < -2\) или \(a > 5\). Пересечение даёт \(a \in \left[-\frac{26}{11}; -2\right) \cup (5; +\infty)\).