Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 10 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
- При каких значениях параметра \( a \) все корни уравнения \( x^2 — (6a — 5)x — 30a = 0 \) принадлежат промежутку \((-6; 1)\)?
- Найдите все значения параметра \( a \), при которых один из корней квадратного уравнения \( ax^2 — x + 5 = 0 \) больше \(-2\), а другой меньше \(-2\).
- При каких значениях параметра \( a \) корни уравнения \( x^2 + (2a + 6)x + a^2 — 6a + 8 = 0 \) являются отрицательными числами?
1. Уравнение: \(x^2 — (6a — 5)x — 30a = 0\). Дискриминант: \(D = (6a — 5)^2 + 4 \cdot 30a = (6a + 5)^2\). Корни: \(x_1 = \frac{(6a — 5) — (6a + 5)}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{(6a — 5) + (6a + 5)}{2} = 6a\). Чтобы корни были в \((-6; 1)\), нужно: \(-6 < -5 < 1\) и \(-6 < 6a < 1\), то есть \(-1 < a < \frac{1}{6}\).
2. Уравнение: \(ax^2 — x + 5 = 0\). Подставим \(x = -2\): \(f(-2) = 4a + 7\). Если \(a > 0\), то \(f(-2) < 0\) для корней по разные стороны, значит \(4a + 7 < 0\), но \(a > 0\) не подходит. Если \(a < 0\), то \(f(-2) > 0\), значит \(4a + 7 > 0\), то есть \(-1,75 < a < 0\).
3. Уравнение: \(x^2 + (2a + 6)x + a^2 — 6a + 8 = 0\). Дискриминант: \(D = (2a + 6)^2 — 4(a^2 — 6a + 8) = 48a + 4\). Для корней: \(D \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{1}{12}\). Сумма корней: \(- (2a + 6) < 0 \Rightarrow a > -3\). Произведение корней: \(a^2 — 6a + 8 > 0\), то есть \((a — 2)(a — 4) > 0\), значит \(a < 2\) или \(a > 4\). Итог: \(a \in \left[-\frac{1}{12}, 2\right) \cup (4, +\infty)\).
\(f(-1) = 5 — 15a > 0 \Rightarrow a < \frac{1}{3}\),
\(f(5) = 5 + 3a > 0 \Rightarrow a > -\frac{5}{3}\).
Ответ: \(a \in \left(-\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\).
2. Уравнение \(x^2 — x + a = 0\).
Чтобы корни были по разные стороны от \(-3\), \(f(-3) < 0\):
\(9 + 3 + a < 0 \Rightarrow 12 + a < 0 \Rightarrow a < -12\).
Ответ: \(a < -12\).
3. Уравнение \(x^2 + (2a + 8)x + a^2 — 3a — 10 = 0\).
Сумма корней \(-2a — 8\), произведение \(a^2 — 3a — 10\).
Корни отрицательные, значит:
\(-2a — 8 < 0 \Rightarrow a > -4\),
\(a^2 — 3a — 10 > 0 \Rightarrow a < -2 \text{ или } a > 5\),
дискриминант \(D = 44a + 104 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{26}{11}\).
Объединяем:
\(a \in \left[-\frac{26}{11}; -2\right) \cup (5; +\infty)\).
1. Рассмотрим уравнение \(x^2 — (6a — 5)x — 30a = 0\). Чтобы найти корни, вычислим дискриминант: \(D = (6a — 5)^2 + 4 \cdot 30a = 36a^2 — 60a + 25 + 120a = 36a^2 + 60a + 25\). Заметим, что \(D = (6a + 5)^2\), значит дискриминант всегда неотрицателен, и корни существуют для всех \(a\).
Корни уравнения находятся по формуле: \(x = \frac{6a — 5 \pm \sqrt{D}}{2}\). Подставим \(D = (6a + 5)^2\), тогда корни: \(x_1 = \frac{6a — 5 — (6a + 5)}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) и \(x_2 = \frac{6a — 5 + (6a + 5)}{2} = \frac{12a}{2} = 6a\).
Нужно, чтобы оба корня лежали в промежутке \((-6; 1)\). Проверим \(x_1 = -5\): \(-6 < -5 < 1\), условие выполнено. Для \(x_2 = 6a\) должно быть \(-6 < 6a < 1\), откуда \(-1 < a < \frac{1}{6}\).
2. Рассмотрим уравнение \(ax^2 — x + 5 = 0\). Требуется, чтобы один корень был больше \(-2\), а другой меньше \(-2\). Подставим \(x = -2\) в левую часть уравнения: \(f(-2) = a \cdot (-2)^2 — (-2) + 5 = 4a + 2 + 5 = 4a + 7\).
Если парабола направлена вверх (то есть \(a > 0\)), то для того, чтобы корни были по разные стороны от \(-2\), значение функции в точке \(-2\) должно быть отрицательным: \(4a + 7 < 0\). Но при \(a > 0\) это невозможно, так как \(4a + 7 > 7\).
Если парабола направлена вниз (то есть \(a < 0\)), то для корней по разные стороны от \(-2\) значение функции в точке \(-2\) должно быть положительным: \(4a + 7 > 0\). Отсюда \(a > -\frac{7}{4} = -1,75\). Поскольку \(a < 0\), получаем \(a \in (-1,75; 0)\).
3. Рассмотрим уравнение \(x^2 + (2a + 6)x + a^2 — 6a + 8 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = (2a + 6)^2 — 4(a^2 — 6a + 8) = 4a^2 + 24a + 36 — 4a^2 + 24a — 32 = 48a + 4\).
Для существования корней нужно \(D \geq 0\), значит \(48a + 4 \geq 0\), откуда \(a \geq -\frac{1}{12}\).
Сумма корней равна \(- (2a + 6)\). Чтобы оба корня были отрицательными, сумма корней должна быть положительной: \(- (2a + 6) > 0\), то есть \(2a + 6 < 0\), откуда \(a < -3\). Но это противоречит условию \(a \geq -\frac{1}{12}\), значит условие суммы корней должно быть пересмотрено.
Для того чтобы оба корня были отрицательными, сумма корней должна быть положительной: \(- (2a + 6) > 0\), значит \(2a + 6 < 0\), то есть \(a < -3\). Но при \(a < -3\) дискриминант \(D = 48a + 4 < 0\), корней нет. Значит, условие суммы корней должно быть \(2a + 6 > 0\), то есть \(a > -3\).
Произведение корней равно \(a^2 — 6a + 8\). Чтобы оба корня были отрицательными, произведение должно быть положительным: \(a^2 — 6a + 8 > 0\).
Рассмотрим квадратное выражение \(a^2 — 6a + 8\). Найдем корни: \(a = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}\), то есть \(a = 2\) или \(a = 4\).
Выражение положительно при \(a < 2\) или \(a > 4\).
Объединим условия: \(a \geq -\frac{1}{12}\), \(a > -3\) (то есть \(a > -\frac{1}{12}\)) и \(a < 2\) или \(a > 4\).
Итог: \(a \in \left[-\frac{1}{12}; 2\right) \cup (4; +\infty)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.