ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 11 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график уравнения:
1) \(x^2 + y^2 + 2x — 6y + 10 = 0\);
3) \(|y — 2| = \sqrt{x}\);
2) \(4x^2 — y^2 = 0\);
4) \(\frac{x^2 + \frac{y}{2} — 16}{x^2 — 9} = 0\).

2. Решите уравнение \((x^2 — 8x + 17)(y^2 + 2) + 4 = 3\).

1. График уравнения:
1) \(x^2 + y^2 + 2x — 6y + 10 = 0;\)
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 — 6y + 9 = 0;\)
\((x+1)^2 + (y-3)^2 = 0;\)
\(x = -1, \quad y = 3;\)

2) \(4x^2 — y^2 = 0;\)
\(y^2 = 4x^2, \quad |y| = 2|x|;\)
Если \(xy > 0\), тогда:
\(\pm y = \pm 2x, \quad y = 2x;\)
Если \(xy < 0\), тогда:
\(\pm y = \mp 2x, \quad y = -2x;\)

3) \(|y — 2| = \sqrt{x};\)
Если \(y \geq 2\), тогда:
\(y — 2 = \sqrt{x}, \quad y = \sqrt{x} + 2;\)
Если \(y \leq 2\), тогда:
\(2 — y = \sqrt{x}, \quad y = 2 — \sqrt{x};\)

4) \(\frac{x^2 + y^2 — 16}{y^2 — 9} = 0;\)
\(x^2 + y^2 = 16, \quad y \neq \pm 3;\)

2. \((x^2 — 8x + 17)(y^2 + 2y + 4) = 3;\)
\(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4,\quad f(x) \geq 16 — 32 + 17 = 1;\)
\(y_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1,\quad g(x) \geq 1 — 2 + 4 = 3;\)
Ответ: \((4; -1)\).

1. График уравнения:
1) Дано уравнение \(x^2 + y^2 + 2x — 6y + 10 = 0\).
Перегруппируем члены с \(x\) и \(y\):
\(x^2 + 2x + y^2 — 6y + 10 = 0\).
Добавим и вычтем необходимые константы для выделения полного квадрата:
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 — 6y + 9 + 10 — 1 — 9 = 0\),
что эквивалентно
\((x + 1)^2 + (y — 3)^2 + 0 = 0\).
Отсюда
\((x + 1)^2 + (y — 3)^2 = 0\).
Это уравнение окружности с центром \((-1, 3)\) и радиусом 0, значит график — точка:
\(x = -1, \quad y = 3\).

2) Дано уравнение \(4x^2 — y^2 = 0\).
Перепишем как
\(y^2 = 4x^2\),
откуда
\(|y| = 2|x|\).
Рассмотрим случаи:
Если \(xy > 0\), то \(y\) и \(x\) одного знака, значит
\(\pm y = \pm 2x\), и с учетом знаков
\(y = 2x\).
Если \(xy < 0\), то \(y\) и \(x\) разных знаков, значит
\(\pm y = \mp 2x\), и с учетом знаков
\(y = -2x\).
Таким образом, график — две прямые: \(y = 2x\) и \(y = -2x\).

3) Дано уравнение \(|y — 2| = \sqrt{x}\).
Рассмотрим случаи:
Если \(y \geq 2\), тогда
\(y — 2 = \sqrt{x}\), откуда
\(y = \sqrt{x} + 2\).
Если \(y \leq 2\), тогда
\(2 — y = \sqrt{x}\), откуда
\(y = 2 — \sqrt{x}\).
График состоит из двух ветвей, одна из которых выше \(y=2\), другая — ниже.

4) Дано уравнение \(\frac{x^2 + y^2 — 16}{y^2 — 9} = 0\).
Для дроби равной нулю необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\(x^2 + y^2 — 16 = 0\),
\(y^2 — 9 \neq 0\).
Отсюда
\(x^2 + y^2 = 16\),
\(y \neq \pm 3\).
График — окружность радиуса 4 с исключением точек, где \(y = \pm 3\).

2. Решение уравнения \((x^2 — 8x + 17)(y^2 + 2y + 4) = 3\).
Найдем вершины парабол:
\(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4\),
подставим в \(f(x) = x^2 — 8x + 17\):
\(f(4) = 16 — 32 + 17 = 1\),
значит \(f(x) \geq 1\).
Для второй части:
\(y_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\),
подставим в \(g(y) = y^2 + 2y + 4\):
\(g(-1) = 1 — 2 + 4 = 3\),
значит \(g(y) \geq 3\).
Тогда уравнение принимает вид
\(f(x) \cdot g(y) = 3\),
при минимальных значениях \(f(x) = 1\) и \(g(y) = 3\), произведение равно 3, что удовлетворяет уравнению.
Ответ: \((4; -1)\).