ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 11 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график уравнения:
1) \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 20 = 0\);
2) \(x^2 — 9y^2 = 0\);
3) \(|y+3| = \sqrt{x}\);
4) \(\frac{x^2 + y^2 — 25}{y^2 — 9} = 0\).

2. Решите уравнение \((x^2 + 4x + 7)(y^2 — 6y + 11) = 6\).

1. График уравнения:
1) \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 20 = 0;\)
\(x^2 — 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = 0;\)
\((x — 4)^2 + (y + 2)^2 = 0;\)
\(x = 4, \quad y = -2;\)

2) \(x^2 — 9y^2 = 0;\)
\(x^2 = 9y^2, \quad |x| = 3|y|;\)
Если \(xy > 0\), тогда:
\(3y = x, \quad y = \frac{1}{3}x;\)
Если \(xy < 0\), тогда:
\(3y = -x, \quad y = -\frac{1}{3}x;\)

3) \(|y + 3| = \sqrt{x};\)
Если \(y \geq -3\), тогда:
\(y + 3 = \sqrt{x}, \quad y = \sqrt{x} — 3;\)
Если \(y \leq -3\), тогда:
\(y + 3 = -\sqrt{x}, \quad y = -\sqrt{x} — 3;\)

4) \(\frac{x^2 + y^2 — 25}{y^2 — 9} = 0;\)
\(x^2 + y^2 = 25, \quad y \neq \pm 3;\)

2. \((x^2 + 4x + 7)(y^2 — 6y + 11) = 6;\)
\(x_0 = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2, \quad f(x) \geq 4 — 8 + 7 = 3;\)
\(y_0 = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3, \quad g(y) \geq 9 — 18 + 11 = 2;\)
Ответ: \((-2; 3)\).

1. График уравнения:

1) Рассмотрим уравнение \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 20 = 0\).
Перегруппируем и дополнительно выделим полный квадрат:
\(x^2 — 8x + y^2 + 4y + 20 = 0\).
Добавим и вычтем необходимые члены для выделения квадратов:
\(x^2 — 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 + 20 — 16 — 4 = 0\).
Это даёт:
\((x — 4)^2 + (y + 2)^2 + 0 = 0\).
Отсюда:
\((x — 4)^2 + (y + 2)^2 = 0\).
Поскольку сумма квадратов равна нулю, то:
\(x — 4 = 0, \quad y + 2 = 0\),
то есть
\(x = 4, \quad y = -2\).

2) Рассмотрим уравнение \(x^2 — 9y^2 = 0\).
Перепишем как
\(x^2 = 9y^2\).
Из этого следует
\(|x| = 3|y|\).
Для случая \(xy > 0\), то есть \(x\) и \(y\) одного знака, имеем:
\(3y = x\), значит \(y = \frac{1}{3}x\).
Для случая \(xy < 0\), то есть \(x\) и \(y\) разных знаков, имеем:
\(3y = -x\), значит \(y = -\frac{1}{3}x\).

3) Рассмотрим уравнение \(|y + 3| = \sqrt{x}\).
Если \(y \geq -3\), то
\(y + 3 = \sqrt{x}\), отсюда
\(y = \sqrt{x} — 3\).
Если \(y \leq -3\), то
\(y + 3 = -\sqrt{x}\), отсюда
\(y = -\sqrt{x} — 3\).

4) Рассмотрим уравнение \(\frac{x^2 + y^2 — 25}{y^2 — 9} = 0\).
Значит числитель равен нулю:
\(x^2 + y^2 — 25 = 0\),
то есть
\(x^2 + y^2 = 25\).
При этом знаменатель не равен нулю, значит
\(y \neq \pm 3\).

2. Рассмотрим уравнение \((x^2 + 4x + 7)(y^2 — 6y + 11) = 6\).

Найдём вершину параболы по \(x\):
\(x_0 = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2\).
Вычислим значение функции \(f(x) = x^2 + 4x + 7\) в вершине:
\(f(x_0) = 4 — 8 + 7 = 3\).
Найдём вершину параболы по \(y\):
\(y_0 = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3\).
Вычислим значение функции \(g(y) = y^2 — 6y + 11\) в вершине:
\(g(y_0) = 9 — 18 + 11 = 2\).
Ответ: \((-2; 3)\).