ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 11 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график уравнения:
1) \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 5 = 0;\)
3) \(|y — 3| = \sqrt{x};\)
2) \(16x^2 — y^2 = 0;\)
4) \(\frac{x^2 + y^2 — 4}{x^2 — 1} = 0.\)

2. Решите уравнение \((x^2 — 6x + 12)(y^2 — 10y + 28) = 9.\)

1. График уравнения:
1) \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 5 = 0;\)
\(x^2 — 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 0;\)
\((x-1)^2 + (y+2)^2 = 0;\)
\(x = 1, \quad y = -2;\)

2) \(16x^2 — y^2 = 0;\)
\(y^2 = 16x^2, \quad |y| = 4|x|;\)
Если \(xy > 0\), тогда:
\(\pm y = \pm 4x, \quad y = 4x;\)
Если \(xy < 0\), тогда:
\(\pm y = \mp 4x, \quad y = -4x;\)

3) \(|y — 3| = \sqrt{x};\)
Если \(y \geq 3\), тогда:
\(y — 3 = \sqrt{x}, \quad y = \sqrt{x} + 3;\)
Если \(y < 3\), тогда:
\(3 — y = \sqrt{x}, \quad y = 3 — \sqrt{x};\)

4) \(\frac{x^2 + y^2 — 4}{y^2 — 1} = 0;\)
\(x^2 + y^2 = 4, \quad y \neq \pm 1;\)

2. \((x^2 — 6x + 12)(y^2 — 10y + 28) = 9;\)
\(x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3, \quad f(x) \geq 9 — 18 + 12 = 3;\)
\(y_0 = \frac{-10}{2 \cdot 1} = 5, \quad g(y) \geq 25 — 50 + 28 = 3;\)
Ответ: \((3; 5).\)

1. График уравнения:
1) Рассмотрим уравнение \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 5 = 0.\)
Перегруппируем члены: \(x^2 — 2x + y^2 + 4y + 5 = 0.\)
Добавим и вычтем необходимые квадраты для полного квадрата:
\(x^2 — 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + 5 — 1 — 4 = 0,\)
что эквивалентно
\((x-1)^2 + (y+2)^2 + 0 = 0.\)
Отсюда \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 0.\)
Это возможно только при \(x-1=0\) и \(y+2=0,\) то есть
\(x=1, \quad y=-2.\)

2) Рассмотрим уравнение \(16x^2 — y^2 = 0\).
Перепишем как \(y^2 = 16x^2\), откуда \(|y| = 4|x|\).
Рассмотрим два случая:
Если \(xy > 0\), то \(y\) и \(x\) одного знака, значит \(y = 4x\).
Если \(xy < 0\), то \(y\) и \(x\) разных знаков, значит \(y = -4x\).

3) Рассмотрим уравнение \(|y — 3| = \sqrt{x}\).
Если \(y \geq 3\), то \(y — 3 = \sqrt{x}\), откуда \(y = \sqrt{x} + 3\).
Если \(y < 3\), то \(3 — y = \sqrt{x}\), откуда \(y = 3 — \sqrt{x}\).

4) Рассмотрим уравнение \(\frac{x^2 + y^2 — 4}{y^2 — 1} = 0\).
Для дроби равной нулю числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\(x^2 + y^2 — 4 = 0\), \(y^2 — 1 \neq 0\).
Отсюда \(x^2 + y^2 = 4\), \(y \neq \pm 1\).

2. Рассмотрим уравнение \((x^2 — 6x + 12)(y^2 — 10y + 28) = 9.\)
Найдём вершины парабол:
\(x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3.\)
Вычислим значение функции при \(x_0:\)
\(f(x_0) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 12 = 9 — 18 + 12 = 3.\)
Аналогично для \(y:\)
\(y_0 = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5.\)
Вычислим значение функции при \(y_0:\)
\(g(y_0) = 5^2 — 10 \cdot 5 + 28 = 25 — 50 + 28 = 3.\)
Ответ: \((3; 5).\)