ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 11 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график уравнения:
1) \(x^2 + y^2 + 6x + 10y + 34 = 0\);
2) \(x^2 — 16y^2 = 0\);
3) \(|y + 2| = \sqrt{x}\);
4) \(\frac{x^2 + y^2 — 9}{y^2 — 4} = 0\).

2. Решите уравнение \((x^2 — 2x + 5)(y^2 + 6y + 11) = 8\).

1. График уравнения:
1) \(x^2 + y^2 + 6x + 10y + 34 = 0;\)
\(x^2 + 6x + 9 + y^2 + 10y + 25 = 0;\)
\((x + 3)^2 + (y + 5)^2 = 0;\)
\(x = -3, \quad y = -5;\)

2) \(x^2 — 16y^2 = 0;\)
\(x^2 = 16y^2, \quad |x| = 4|y|;\)
Если \(xy > 0\), тогда:
\(x = 4y, \quad y = 0,25x;\)
Если \(xy < 0\), тогда:
\(x = -4y, \quad y = -0,25x;\)

3) \(|y + 2| = \sqrt{x};\)
Если \(y \geq -2\), тогда:
\(y + 2 = \sqrt{x}, \quad y = \sqrt{x} — 2;\)
Если \(y \leq -2\), тогда:
\(y + 2 = -\sqrt{x}, \quad y = -\sqrt{x} — 2;\)

4) \(\frac{x^2 + y^2 — 9}{y^2 — 4} = 0;\)
\(x^2 + y^2 = 9, \quad y \neq \pm 2;\)

2. \((x^2 — 2x + 5)(y^2 + 6y + 11) = 8;\)
\(x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1, \quad f(x) \geq 1 — 2 + 5 = 4;\)
\(y_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3, \quad g(y) \geq 9 — 18 + 11 = 2;\)
Ответ: \((1; -3)\).

1.
1) Рассмотрим уравнение \(x^2 + y^2 + 6x + 10y + 34 = 0\). Для удобства сгруппируем члены по переменным:
\(x^2 + 6x + y^2 + 10y + 34 = 0\).

Добавим и вычтем необходимые константы для выделения полного квадрата:
\(x^2 + 6x + 9 + y^2 + 10y + 25 + 34 — 9 — 25 = 0\),
что эквивалентно
\((x + 3)^2 + (y + 5)^2 + 0 = 0\).

Отсюда получаем
\((x + 3)^2 + (y + 5)^2 = 0\).

Так как сумма квадратов равна нулю, оба слагаемых должны быть равны нулю:
\(x + 3 = 0\), \(y + 5 = 0\),
откуда
\(x = -3\), \(y = -5\).

2) Уравнение \(x^2 — 16y^2 = 0\) можно переписать как
\(x^2 = 16y^2\),
откуда
\(|x| = 4|y|\).

Для случая \(xy > 0\) положим \(x = 4y\). Тогда
\(y = \frac{x}{4} = 0,25x\).

Для случая \(xy < 0\) положим \(x = -4y\). Тогда
\(y = -\frac{x}{4} = -0,25x\).

3) Уравнение \(|y + 2| = \sqrt{x}\) разделяется на два случая:

Если \(y \geq -2\), то
\(y + 2 = \sqrt{x}\), откуда
\(y = \sqrt{x} — 2\).

Если \(y \leq -2\), то
\(y + 2 = -\sqrt{x}\), откуда
\(y = -\sqrt{x} — 2\).

4) Рассмотрим уравнение \(\frac{x^2 + y^2 — 9}{y^2 — 4} = 0\).

Для его выполнения числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\(x^2 + y^2 — 9 = 0\),
\(y^2 — 4 \neq 0\).

Отсюда
\(x^2 + y^2 = 9\),
\(y \neq \pm 2\).

2.
Дано уравнение \((x^2 — 2x + 5)(y^2 + 6y + 11) = 8\).

Найдем вершины парабол для каждого множителя:
Для \(x^2 — 2x + 5\) вершина при
\(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1\).
Значение функции в вершине
\(f(x_0) = 1^2 — 2 \cdot 1 + 5 = 1 — 2 + 5 = 4\).

Для \(y^2 + 6y + 11\) вершина при
\(y_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3\).
Значение функции в вершине
\(g(y_0) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 11 = 9 — 18 + 11 = 2\).

Проверим произведение значений в вершинах:
\(4 \times 2 = 8\), что совпадает с правой частью уравнения.

Ответ:
\((1; -3)\).