ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 12 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите графически систему уравнений \(\{x^2 + y^2 = 17, \quad xy = -4\}\).

2. Определите графически количество решений системы уравнений \(\{|y| = -x, \quad y = x^2 — 2x — 1\}\).

3. Сколько решений имеет система уравнений \(\{2x + ay = 8 — a, \quad ax + 8y = 8\}\) в зависимости от значения параметра \(a\)?

1.
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ xy = -4 \end{cases}\) ;
Первое уравнение:
\(x^2 + y^2 = 17\);
\(x_0 = y_0 = 0, \quad R = \sqrt{17}\);
Второе уравнение:
\(xy = -4, \quad y = -\frac{4}{x}\);
Графики функций:
(график)
Ответ: \((-4; 1); (-1; 4); (1; -4); (4; -1)\).

2.
\(\begin{cases} |y| = -x \\ y = x^2 — 2x — 1 \end{cases}\);
Первое уравнение:
\(|y| = -x, \quad x = -|y|\);
Второе уравнение:
\(y = x^2 — 2x — 1\);
\(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\);
\(y_0 = 1 — 2 — 1 = -2\);
Графики функций:
(график)
Ответ: 2 решения.

3.
\(\begin{cases} 2x + ay = 8 — a \\ ax + 8y = 8 \end{cases}\);
Первое уравнение:
\(ay = -2x + 8 — a;\)
\(y = -\frac{2}{a}x + \frac{8}{a} — 1;\)
Второе уравнение:
\(8y = -ax + 8;\)
\(y = -\frac{a}{8}x + 1;\)
Прямые параллельны:
\(\frac{2}{a} = \frac{a}{8}, \quad a \cdot a = 8 \cdot 2;\)
\(a^2 = 16, \quad a = \pm 4;\)
Прямые совпадают:
\(\frac{8}{a} — 1 = 1, \quad \frac{8}{a} = 2, \quad a = 4;\)
Ответ: если \(a \neq \pm 4\), то одно решение;
если \(a = -4\), то решений \(\emptyset\);
если \(a = 4\), то бесконечно много.

1.

Дана система уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ xy = -4 \end{cases}\).

Первое уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом:
\(x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad R = \sqrt{17}\).

Второе уравнение можно преобразовать, выразив \(y\) через \(x\):
\(xy = -4\), значит \(y = -\frac{4}{x}\).

Подставим \(y = -\frac{4}{x}\) в первое уравнение:
\(x^2 + \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 17\), то есть
\(x^2 + \frac{16}{x^2} = 17\).

Умножим на \(x^2\):
\(x^4 + 16 = 17x^2\).

Перенесём все в левую часть:
\(x^4 — 17x^2 + 16 = 0\).

Обозначим \(t = x^2\), тогда уравнение:
\(t^2 — 17t + 16 = 0\).

Решим квадратное уравнение:
\(t = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 — 4 \cdot 16}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 — 64}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2}\).

Получаем два значения:
\(t_1 = \frac{17 + 15}{2} = 16\),
\(t_2 = \frac{17 — 15}{2} = 1\).

Так как \(t = x^2\), то:
\(x^2 = 16\), значит \(x = \pm 4\),
\(x^2 = 1\), значит \(x = \pm 1\).

Для каждого значения \(x\) найдём \(y = -\frac{4}{x}\):
Если \(x = 4\), то \(y = -\frac{4}{4} = -1\).
Если \(x = -4\), то \(y = -\frac{4}{-4} = 1\).
Если \(x = 1\), то \(y = -\frac{4}{1} = -4\).
Если \(x = -1\), то \(y = -\frac{4}{-1} = 4\).

Ответ:
\((-4; 1); (-1; 4); (1; -4); (4; -1)\).

2.

Дана система уравнений:
\(\begin{cases} |y| = -x \\ y = x^2 — 2x — 1 \end{cases}\).

Первое уравнение:
\(|y| = -x\). Поскольку модуль неотрицателен, то \(-x \geq 0\), значит \(x \leq 0\).
Из первого уравнения следует:
\(x = -|y|\).

Второе уравнение:
\(y = x^2 — 2x — 1\).

Найдём вершину параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\),
\(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 — 1 = 1 — 2 — 1 = -2\).

Проверим пересечения графиков, учитывая область \(x \leq 0\).

Графики функций:
(график)

Ответ: 2 решения.

3.
Дана система уравнений:
\(\begin{cases} 2x + ay = 8 — a \\ ax + 8y = 8 \end{cases}\).

Первое уравнение:
\(ay = -2x + 8 — a\),
\(y = -\frac{2}{a} x + \frac{8}{a} — 1\), при \(a \neq 0\).

Второе уравнение:
\(8y = -ax + 8\),
\(y = -\frac{a}{8} x + 1\).

Для исследования количества решений необходимо сравнить коэффициенты при \(x\) и свободные члены.

Прямые параллельны, если коэффициенты при \(x\) равны:
\(-\frac{2}{a} = -\frac{a}{8}\),
\(\frac{2}{a} = \frac{a}{8}\),
умножим обе части на \(a\):
\(2 = \frac{a^2}{8}\),
\(a^2 = 16\),
\(a = \pm 4\).

Прямые совпадают, если при совпадении коэффициентов равны свободные члены:
\(\frac{8}{a} — 1 = 1\),
\(\frac{8}{a} = 2\),
\(a = 4\).

Ответ:
если \(a \neq \pm 4\), то одно решение;
если \(a = -4\), то решений \(\emptyset\);
если \(a = 4\), то бесконечно много решений.