ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 12 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите графически систему уравнений \(\{x^2 + y^2 = 25, \quad xy = 12\}\).

2. Определите графически количество решений системы уравнений \(\{|y| = x, \quad y = -x^2 + 2x + 3\}\).

3. Сколько решений имеет система уравнений \(\{ax + 3y = 12 — a, \quad 12x + ay = 12\}\), в зависимости от значения параметра \(a\)?

1. \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25; \\ xy = 12 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(x^2 + y^2 = 25;\)
\(x_0 = y_0 = 0, R = 5;\)

Второе уравнение:
\(xy = 12, \quad y = \frac{12}{x};\)

Графики функций:

Ответ: \((-4; -3); (-3; -4); (3; 4); (4; 3).\)

2. \(\begin{cases} |y| = x \\ y = -x^2 + 2x + 3 \end{cases}\)

Второе уравнение:
\(y = -x^2 + 2x + 3;\)

\(x_0 = \frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1;\)
\(y_0 = -1 + 2 + 3 = 4;\)

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

3. \(\begin{cases} ax + 3y = 12 — a \\ 12x + ay = 12 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(3y = -ax + 12 — a;\)
\(y = -\frac{a}{3}x + 4 — \frac{a}{3};\)

Второе уравнение:
\(ay = -12x + 12;\)
\(y = -\frac{12}{a}x + \frac{12}{a};\)

Прямые параллельны:
\(\frac{a}{3} = \frac{12}{a}, \quad a \cdot a = 12 \cdot 3;\)
\(a^2 = 36, \quad a = \pm 6;\)

Прямые совпадают:
\(4 — \frac{a}{3} = \frac{12}{a};\)
\(12a — a^2 = 36;\)
\(a^2 — 12a + 36 = 0;\)
\((a — 6)^2 = 0, \quad a = 6;\)

Ответ: если \(a \neq \pm 6\), то одно решение;
если \(a = -6\), то решений \(\emptyset\);
если \(a = 6\), то бесконечно много.

1.
Дано уравнение системы:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25; \\ xy = 12 \end{cases}\).

Первое уравнение — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом:
\(R = 5\), так как \(x_0 = y_0 = 0\) и \(x^2 + y^2 = R^2 = 25\).

Второе уравнение:
\(xy = 12\), откуда выразим \(y\) через \(x\):
\(y = \frac{12}{x}\).

Подставим \(y = \frac{12}{x}\) в первое уравнение:
\(x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25\), что даёт
\(x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\).

Умножим на \(x^2\) обе части:
\(x^4 + 144 = 25x^2\).

Перенесём все в одну сторону:
\(x^4 — 25x^2 + 144 = 0\).

Обозначим \(t = x^2\), тогда:
\(t^2 — 25t + 144 = 0\).

Решим квадратное уравнение:
\(D = (-25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 — 576 = 49\).

Корни:
\(t_1 = \frac{25 + 7}{2} = 16\),
\(t_2 = \frac{25 — 7}{2} = 9\).

Возвращаемся к \(x\):
\(x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\),
\(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).

Найдём соответствующие \(y\):
Для \(x = 4\), \(y = \frac{12}{4} = 3\).
Для \(x = -4\), \(y = \frac{12}{-4} = -3\).
Для \(x = 3\), \(y = \frac{12}{3} = 4\).
Для \(x = -3\), \(y = \frac{12}{-3} = -4\).

Ответ:
\((-4; -3); (-3; -4); (3; 4); (4; 3)\).

2.
Дано уравнение системы:
\(\begin{cases} |y| = x \\ y = -x^2 + 2x + 3 \end{cases}\).

Второе уравнение:
\(y = -x^2 + 2x + 3\).

Найдём вершину параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\).

Вычислим \(y_0\):
\(y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\).

Первое уравнение:
\(|y| = x\) означает \(y = x\) или \(y = -x\).

Рассмотрим систему с \(y = x\):
Подставим во второе уравнение:
\(x = -x^2 + 2x + 3\).

Переносим всё в одну сторону:
\(-x^2 + 2x + 3 — x = 0\),
\(-x^2 + x + 3 = 0\), или
\(x^2 — x — 3 = 0\).

Дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13\).

Корни:
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\).

Поскольку \(x = |y|\), \(x \geq 0\), выбираем положительные корни.

Рассмотрим систему с \(y = -x\):
Подставим во второе уравнение:
\(-x = -x^2 + 2x + 3\).

Переносим:
\(-x + x^2 — 2x — 3 = 0\),
\(x^2 — 3x — 3 = 0\).

Дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21\).

Корни:
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\).

Выбираем \(x \geq 0\).

Таким образом, система имеет 2 решения.

Ответ: 2 решения.

3.
Дано уравнение системы:
\(\begin{cases} ax + 3y = 12 — a \\ 12x + ay = 12 \end{cases}\).

Первое уравнение:
\(3y = -ax + 12 — a\),
\(y = -\frac{a}{3}x + 4 — \frac{a}{3}\).

Второе уравнение:
\(ay = -12x + 12\),
\(y = -\frac{12}{a}x + \frac{12}{a}\).

Прямые параллельны, если коэффициенты при \(x\) равны:
\(-\frac{a}{3} = -\frac{12}{a}\),
откуда
\(\frac{a}{3} = \frac{12}{a}\).

Умножим обе части на \(a\):
\(\frac{a^2}{3} = 12\),
\(a^2 = 36\),
\(a = \pm 6\).

Прямые совпадают, если они параллельны и свободные члены пропорциональны:
\(4 — \frac{a}{3} = \frac{12}{a}\).

Умножим обе части на \(a\):
\(4a — \frac{a^2}{3} = 12\).

Умножим на 3:
\(12a — a^2 = 36\).

Перенесём всё в одну сторону:
\(a^2 — 12a + 36 = 0\).

Решим квадратное уравнение:
\((a — 6)^2 = 0\),
\(a = 6\).

Ответ:
если \(a \neq \pm 6\), то одно решение;
если \(a = -6\), то решений \(\emptyset\);
если \(a = 6\), то бесконечно много.