ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 12 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите графически систему уравнений \(\{x^2 + y^2 = 13, \quad xy = -6\}\).

2. Определите графически количество решений системы уравнений \(\{|y| = x, \quad y = -x^2 + 5x + 1\}\).

3. Сколько решений имеет система уравнений \(\{4x + ay = 16 — a, \quad ax + 16y = 16\}\) в зависимости от значения параметра \(a\)?

1. \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = -6 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(x^2 + y^2 = 13;\)
\(x_0 = y_0 = 0,\quad R = \sqrt{13};\)

Второе уравнение:
\(xy = -6,\quad y = -\frac{6}{x};\)

Графики функций:

Ответ: \((-3; 2); (-2; 3); (2; -3); (3; -2).\)

2. \(\begin{cases} |y| = x \\ y = -x^2 + 5x + 1 \end{cases}\)

Второе уравнение:
\(y = -x^2 + 5x + 1;\)
\(x_0 = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2};\)
\(y_0 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 1 = 7 \frac{1}{4};\)

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

3. \(\begin{cases} 4x + ay = 16 — a \\ ax + 16y = 16 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(ay = -4x + 16 — a;\)
\(y = -\frac{4}{a}x + \frac{16}{a} — 1;\)

Второе уравнение:
\(16y = -ax + 16;\)
\(y = -\frac{a}{16}x + 1;\)

Прямые параллельны:
\(\frac{4}{a} = \frac{a}{16}, \quad a \cdot a = 4 \cdot 16;\)
\(a^2 = 64, \quad a = \pm 8;\)

Прямые совпадают:
\(\frac{16}{a} — 1 = 1, \quad \frac{16}{a} = 2, \quad a = 8;\)

Ответ:
если \(a \neq \pm 8\), то одно решение;
если \(a = -8\), то решений нет;
если \(a = 8\), то бесконечно много.

1.
Дана система уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = -6 \end{cases}\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(x^2 + y^2 = 13.\)
Это уравнение окружности с центром в точке \((x_0, y_0) = (0, 0)\) и радиусом \(R = \sqrt{13}.\)

Второе уравнение:
\(xy = -6,\)
откуда выразим \(y\) через \(x\):
\(y = -\frac{6}{x}.\)

Подставим это выражение во второе уравнение окружности:
\(x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 13\),
что даёт
\(x^2 + \frac{36}{x^2} = 13.\)

Умножим на \(x^2\):
\(x^4 — 13x^2 + 36 = 0.\)

Обозначим \(t = x^2\), тогда:
\(t^2 — 13t + 36 = 0.\)

Решим квадратное уравнение:
\(t = \frac{13 \pm \sqrt{169 — 144}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2}.\)

Получаем два корня:
\(t_1 = 9,\quad t_2 = 4.\)

Следовательно,
\(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3,\)
\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)

Найдем соответствующие \(y\):
Для \(x = 3,\quad y = -\frac{6}{3} = -2.\)
Для \(x = -3,\quad y = -\frac{6}{-3} = 2.\)
Для \(x = 2,\quad y = -\frac{6}{2} = -3.\)
Для \(x = -2,\quad y = -\frac{6}{-2} = 3.\)

Ответ: \((-3; 2), (-2; 3), (2; -3), (3; -2).\)

2.
Дана система уравнений:
\(\begin{cases} |y| = x \\ y = -x^2 + 5x + 1 \end{cases}\)

Поскольку \( |y| = x\), то \(y = x\) или \(y = -x.\)

Подставим во второе уравнение оба варианта.

Первый вариант:
\(y = x = -x^2 + 5x + 1,\)
откуда
\(-x^2 + 5x + 1 — x = 0,\)
то есть
\(-x^2 + 4x + 1 = 0.\)

Умножим на \(-1\):
\(x^2 — 4x — 1 = 0.\)

Решим квадратное уравнение:
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}.\)

Второй вариант:
\(y = -x = -x^2 + 5x + 1,\)
откуда
\(-x = -x^2 + 5x + 1,\)
то есть
\(-x^2 + 5x + 1 + x = 0,\)
или
\(-x^2 + 6x + 1 = 0.\)

Умножим на \(-1\):
\(x^2 — 6x — 1 = 0.\)

Решим квадратное уравнение:
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}.\)

Проверим, что \(x \geq 0\) для \( |y| = x \), так как \(x\) — аргумент модуля. Все найденные корни положительны.

Ответ: 2 решения.

3.
Дана система уравнений:
\(\begin{cases} 4x + ay = 16 — a \\ ax + 16y = 16 \end{cases}\)

Первое уравнение преобразуем:
\(ay = 16 — a — 4x,\)
откуда
\(y = -\frac{4}{a}x + \frac{16}{a} — 1.\)

Второе уравнение:
\(16y = 16 — ax,\)
то есть
\(y = -\frac{a}{16}x + 1.\)

Для того чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы коэффициенты при \(x\) были равны:
\(-\frac{4}{a} = -\frac{a}{16},\)
что даёт
\(\frac{4}{a} = \frac{a}{16}.\)

Перемножим:
\(a \cdot a = 4 \cdot 16,\)
откуда
\(a^2 = 64,\)
значит
\(a = \pm 8.\)

Для совпадения прямых необходимо равенство свободных членов:
\(\frac{16}{a} — 1 = 1,\)
то есть
\(\frac{16}{a} = 2,\)
откуда
\(a = 8.\)

Ответ:
если \(a \neq \pm 8\), то одно решение;
если \(a = -8\), то решений нет;
если \(a = 8\), то бесконечно много решений.