ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 12 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите графически систему уравнений \(\{ x^2 + y^2 = 10, \quad xy = 3 \}\).
2. Определите графически количество решений системы уравнений \(\{ |y| = -x, \quad y = x^2 + 4x — 1 \}\).
3. Сколько решений имеет система уравнений \(\{ ax + 5y = 20 — a, \quad 20x + ay = 20 \}\) в зависимости от значения параметра \(a\)?

Вариант 4
1.
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}\)
Первое уравнение:
\(x^2 + y^2 = 10;\)
\(x_0 = y_0 = 0,\quad R = \sqrt{10};\)
Второе уравнение:
\(xy = 3,\quad y = \frac{3}{x};\)
Графики функций:

Ответ: \((-3; -1); (-1; -3); (1; 3); (3; 1).\)

2.
\(\begin{cases} |y| = -x \\ y = x^2 + 4x — 1 \end{cases}\)
Первое уравнение:
\(|y| = -x,\quad x = -|y|;\)
Второе уравнение:
\(y = x^2 + 4x — 1;\)
\(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2;\)
\(y_0 = 4 — 8 — 1 = -5;\)
Графики функций:

Ответ: 2 решения.

3.
\(\begin{cases} ax + 5y = 20 — a \\ 20x + ay = 20 \end{cases}\)
Первое уравнение:
\(5y = -ax + 20 — a;\)
\(y = -\frac{a}{5}x + 4 — \frac{a}{5};\)
Второе уравнение:
\(ay = -20x + 20;\)
\(y = -\frac{20}{a}x + \frac{20}{a};\)
Прямые параллельны:
\(\frac{a}{5} = \frac{20}{a}, \quad a \cdot a = 5 \cdot 20;\)
\(a^2 = 100, \quad a = \pm 10;\)
Прямые совпадают:
\(4 — \frac{a}{5} = \frac{20}{a};\)
\(20a — a^2 = 100;\)
\(a^2 — 20a + 100 = 0;\)
\((a — 10)^2 = 0, \quad a = 10;\)
Ответ: если \(a = +10\), то одно решение;
если \(a = -10\), то решений \(\emptyset\);
если \(a \emptyset 10\), то бесконечно много.

1.
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(x^2 + y^2 = 10;\)
Центр окружности: \(x_0 = 0,\quad y_0 = 0;\)
Радиус: \(R = \sqrt{10};\)

Второе уравнение:
\(xy = 3,\quad y = \frac{3}{x};\)

Подставим \(y = \frac{3}{x}\) в первое уравнение:
\(x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10;\)
\(x^2 + \frac{9}{x^2} = 10;\)
Умножим обе части на \(x^2\):
\(x^4 + 9 = 10x^2;\)
Перенесём все в одну сторону:
\(x^4 — 10x^2 + 9 = 0.\)

Обозначим \(t = x^2,\) тогда уравнение:
\(t^2 — 10t + 9 = 0.\)

Решим квадратное уравнение:
\(t = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 36}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}.\)
Получаем корни:
\(t_1 = 9,\quad t_2 = 1.\)

Тогда
\(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3;\)
\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\)

Найдём соответствующие \(y\):
При \(x = 3,\quad y = \frac{3}{3} = 1;\)
При \(x = -3,\quad y = \frac{3}{-3} = -1;\)
При \(x = 1,\quad y = \frac{3}{1} = 3;\)
При \(x = -1,\quad y = \frac{3}{-1} = -3.\)

Ответ: \((-3; -1); (-1; -3); (1; 3); (3; 1).\)

2.
\(\begin{cases} |y| = -x \\ y = x^2 + 4x — 1 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(|y| = -x,\quad x \leq 0,\)
так как абсолютное значение не может быть отрицательным, значит \(x = -|y|.\)

Второе уравнение:
\(y = x^2 + 4x — 1.\)

Найдём вершину параболы:
\(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2;\)
\(y_0 = (-2)^2 + 4(-2) — 1 = 4 — 8 — 1 = -5.\)

Графики функций пересекаются в точках решения системы.

Ответ: 2 решения.

3.
\(\begin{cases} ax + 5y = 20 — a \\ 20x + ay = 20 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(5y = -ax + 20 — a;\)
\(y = -\frac{a}{5} x + 4 — \frac{a}{5};\)

Второе уравнение:
\(ay = -20x + 20;\)
\(y = -\frac{20}{a} x + \frac{20}{a};\)

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны:
\(-\frac{a}{5} = -\frac{20}{a},\) значит
\(\frac{a}{5} = \frac{20}{a}.\)

Умножим обе части на \(5a\):
\(a^2 = 100;\)
\(a = \pm 10.\)

Прямые совпадают, если при совпадении угловых коэффициентов равны и свободные члены:
\(4 — \frac{a}{5} = \frac{20}{a}.\)

Умножим обе части на \(5a\):
\(20a — a^2 = 100.\)

Подставим \(a^2 = 100\):
\(a^2 — 20a + 100 = 0.\)

Решим квадратное уравнение:
\((a — 10)^2 = 0,\) значит \(a = 10.\)

Ответ: если \(a = +10\), то одно решение;
если \(a = -10\), то решений \(\emptyset\);
если \(a \neq 10\), то бесконечно много.