ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 13 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1){\( x^2 — xy + y = 3 \), \( 3y — x = 4 \)};3){\( x^2 — xy = 2 \), \( 4y^2 — 3xy = 7 \)}; 2) {\( (x — 3)(y + 1) = 0 \), \( x^2 + 3y^2 — 2xy = 18 \)}; 4) {\( x^2 y^2 — x y^3 = 30 \), \( x^3 y — x^2 y^2 = 180 \)}.

1) \( x^2 — xy + y = 3 \). \( 3y — x = 4 \);

Второе уравнение:

\( x = 3y — 4 \);

Первое уравнение: \( (3y-4)^2 — y(3y-4) + y = 3 \); \( 9y^2 — 24y + 16 — 3y^2 + 4y + y = 3 \); \( 6y^2 — 19y + 13 = 0 \);

\( D = 19^2 — 4 \cdot 6 \cdot 13 = 361 — 312 = 49 \), тогда: \( y_1 = \frac{19 — 7}{2 \cdot 6} = 1 \) и \( y_2 = \frac{19 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} \); \( x_1 = 3 \cdot 1 — 4 = -1 \) и \( x_2 = 3 \cdot \frac{13}{6} — 4 = \frac{13}{2} — 4 = \frac{13}{2} — \frac{8}{2} = \frac{5}{2} \); Ответ: \( (-1; 1) \); \( \left( \frac{5}{2}; \frac{13}{6} \right) \).

2) \( (x-3)(y+1) = 0 \); \( x^2 + 3y^2 — 2xy = 18 \);

Первое уравнение:

\( (x-3)(y+1)=0 \); \( x=3 \), \( y = -1 \);

Первое значение: \( 9 + 3y^2 — 6y = 18 \); \( 3y^2 — 6y — 9 = 0 \); \( y^2 — 2y — 3 = 0 \); \( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:

\( y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \);

Второе значение: \( x^2 + 3 + 2x = 18 \); \( x^2 + 2x — 15 = 0 \); \( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \), тогда: \( x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \);

Ответ: \( (3; -1) \); \( (3; 3) \); \( (-5; -1) \).

3) \( x^2 — xy = 2 \); \( 4y^2 — 3xy = 7 \);

Сумма уравнений: \( x^2 — 4xy + 4y^2 = 9 \); \( (x-2y)^2 = 9 \); \( x-2y = \pm 3 \); \( x = 2y \pm 3 \);

Второе уравнение: \( 4y^2 — 3y(2y \pm 3) = 7 \); \( 4y^2 — 6y^2 \pm 9y = 7 \);

\( -2y^2 \pm 9y + 7 = 0 \);

\( D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 — 56 = 25 \), тогда: \( y_1 = \frac{-9 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5 \) и \( y_2 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \); \( y_3 = \frac{9 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \) и \( y_4 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5 \); \( x_1 = 2 \cdot (-3.5) + 3 = -7 + 3 = -4 \) и \( x_2 = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \); \( x_3 = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1 \) и \( x_4 = 2 \cdot 3.5 — 3 = 7 — 3 = 4 \); Ответ: \( (-4; -3.5) \); \( (1; -1) \); \( (-1; 1) \); \( (4; 3.5) \).

4) \( x^2 y^2 — x y^3 = 30 \); \( x^3 y — x^2 y^2 = 180 \);

Первое уравнение: \( x y^2 (x — y) = 30 \);

Второе уравнение: \( x^2 y (x — y) = 180 \); Частное уравнений: \( \frac{1}{x} = \frac{y}{6} \); \( x = 6y \);

Первое уравнение: \( 6y \cdot y^2 \cdot (6y — y) = 30 \); \( 6y^3 \cdot 5y = 30 \); \( 30 y^4 = 30 \); \( y^4 = 1 \); \( y_1 = -1 \), \( x_1 = -6 \); \( y_2 = 1 \), \( x_2 = 6 \); Ответ: \( (-6; -1) \); \( (6; 1) \).

1) Рассмотрим систему уравнений: \( x^2 — xy + y = 3 \) и \( 3y — x = 4 \).

Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 3y — 4 \).

Подставим это выражение в первое уравнение: \( (3y — 4)^2 — y(3y — 4) + y = 3 \).

Расширим: \( 9y^2 — 24y + 16 — 3y^2 + 4y + y = 3 \).

Соберем подобные члены: \( (9y^2 — 3y^2) + (-24y + 4y + y) + 16 = 3 \), то есть \( 6y^2 — 19y + 16 = 3 \).

Перенесем 3 в левую часть: \( 6y^2 — 19y + 13 = 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (-19)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 13 = 361 — 312 = 49 \).

Корни: \( y = \frac{19 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{19 \pm 7}{12} \).

Таким образом, \( y_1 = \frac{19 — 7}{12} = \frac{12}{12} = 1 \), \( y_2 = \frac{19 + 7}{12} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} \).

Для \( y_1 = 1 \): \( x_1 = 3 \cdot 1 — 4 = -1 \).

Для \( y_2 = \frac{13}{6} \): \( x_2 = 3 \cdot \frac{13}{6} — 4 = \frac{39}{6} — \frac{24}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \).

Решения: \( (-1, 1) \), \( \left( \frac{5}{2}, \frac{13}{6} \right) \).

2) Рассмотрим систему уравнений: \( (x — 3)(y + 1) = 0 \) и \( x^2 + 3y^2 — 2xy = 18 \).

Из первого уравнения: либо \( x = 3 \), либо \( y = -1 \).

Случай 1: \( x = 3 \). Подставим в второе: \( 9 + 3y^2 — 6y = 18 \), то есть \( 3y^2 — 6y — 9 = 0 \), или \( y^2 — 2y — 3 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 4 + 12 = 16 \), корни: \( y = \frac{2 \pm 4}{2} \), так \( y_1 = \frac{6}{2} = 3 \), \( y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \).

Случай 2: \( y = -1 \). Подставим в второе: \( x^2 + 3 \cdot 1 + 2x = 18 \), то есть \( x^2 + 2x + 3 = 18 \), или \( x^2 + 2x — 15 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 4 + 60 = 64 \), корни: \( x = \frac{-2 \pm 8}{2} \), так \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \).

Решения: \( (3, -1) \), \( (3, 3) \), \( (-5, -1) \). Обратите внимание, что \( (3, -1) \) повторяется в обоих случаях, но оно уникально.

3) Рассмотрим систему уравнений: \( x^2 — xy = 2 \) и \( 4y^2 — 3xy = 7 \).

Сложим уравнения: \( x^2 — xy + 4y^2 — 3xy = 9 \), то есть \( x^2 — 4xy + 4y^2 = 9 \), или \( (x — 2y)^2 = 9 \).

Таким образом, \( x — 2y = 3 \) или \( x — 2y = -3 \), то есть \( x = 2y + 3 \) или \( x = 2y — 3 \).

Случай 1: \( x = 2y + 3 \). Подставим во второе: \( 4y^2 — 3y(2y + 3) = 7 \), то есть \( 4y^2 — 6y^2 — 9y = 7 \), или \( -2y^2 — 9y — 7 = 0 \), умножим на -1: \( 2y^2 + 9y + 7 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 81 — 56 = 25 \), корни: \( y = \frac{-9 \pm 5}{4} \), так \( y_1 = \frac{-14}{4} = -3.5 \), \( y_2 = \frac{-4}{4} = -1 \).

Для \( y_1 = -3.5 \): \( x_1 = 2(-3.5) + 3 = -7 + 3 = -4 \).

Для \( y_2 = -1 \): \( x_2 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \).

Случай 2: \( x = 2y — 3 \). Подставим во второе: \( 4y^2 — 3y(2y — 3) = 7 \), то есть \( 4y^2 — 6y^2 + 9y = 7 \), или \( -2y^2 + 9y — 7 = 0 \), умножим на -1: \( 2y^2 — 9y + 7 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 81 — 56 = 25 \), корни: \( y = \frac{9 \pm 5}{4} \), так \( y_3 = \frac{14}{4} = 3.5 \), \( y_4 = \frac{4}{4} = 1 \).

Для \( y_3 = 3.5 \): \( x_3 = 2(3.5) — 3 = 7 — 3 = 4 \).

Для \( y_4 = 1 \): \( x_4 = 2(1) — 3 = 2 — 3 = -1 \).

Решения: \( (-4, -3.5) \), \( (1, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (4, 3.5) \).

4) Рассмотрим систему уравнений: \( x^2 y^2 — x y^3 = 30 \) и \( x^3 y — x^2 y^2 = 180 \).

Перепишем: \( x y^2 (x — y) = 30 \) и \( x^2 y (x — y) = 180 \).

Предполагая \( x — y \neq 0 \), разделим второе на первое: \( \frac{x^2 y (x — y)}{x y^2 (x — y)} = \frac{180}{30} \), упрощается до \( \frac{x}{y} = 6 \), то есть \( x = 6y \).

Подставим в первое: \( 6y \cdot y^2 (6y — y) = 30 \), то есть \( 6 y^3 \cdot 5y = 30 \), или \( 30 y^4 = 30 \), так \( y^4 = 1 \).

Корни: \( y^2 = 1 \) или \( y^2 = -1 \) (комплексные, но предполагаем вещественные), так \( y = 1 \) или \( y = -1 \).

Для \( y = 1 \): \( x = 6 \cdot 1 = 6 \).

Для \( y = -1 \): \( x = 6 \cdot (-1) = -6 \).

Проверим случай \( x = y \): если \( x = y \), то оба уравнения дают 0 = 30 и 0 = 180, что неверно, так нет решений.

Решения: \( (-6, -1) \), \( (6, 1) \).