Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 13 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Решите систему уравнений: 1) \(\{x^{2}+xy-3y =- 1, 4x-y=3\}\); 2)\(\{(x-2)(y-1)=0,2x^{2}+y^{2}+xy=7\}\); 3) \(\{x^{2}+2xy =- 1, 4xy+9y^{2}=5\}\); 4) \(\{x^{3} y^{3}+x^{2} y^{4}=12, x^{4} y^{2}+x^{3} y^{3}=24\}\).
Для системы \(x^2 + xy — 3y = -1\) и \(4x — y = 3\):
из второго уравнения выражаем \(y = 4x — 3\), подставляем в первое: \(x^2 + x(4x — 3) — 3(4x — 3) = -1\), упрощаем до \(5x^2 — 15x + 10 = 0\), делим на 5: \(x^2 — 3x + 2 = 0\).
Дискриминант \(D = 9 — 8 = 1\), корни \(x = \frac{3 \pm 1}{2}\), так \(x_1 = 2\), \(x_2 = 1\).
Соответственно, \(y_1 = 5\), \(y_2 = 1\).
Решения: \((1, 1)\), \((2, 5)\).
Для системы \((x-2)(y-1) = 0\) и \(2x^2 + y^2 + xy = 7\):
из первого либо \(x=2\), либо \(y=1\).
Если \(x=2\): подстановка дает \(y^2 + 2y + 1 = 0\), так \(y = -1\).
Если \(y=1\): подстановка дает \(2x^2 + x — 6 = 0\), дискриминант \(D=49\), корни \(x = -2\), \(x = 1.5\).
Решения: \((2, -1)\), \((-2, 1)\), \((1.5, 1)\).
Для системы \(x^2 + 2xy = -1\) и \(4xy + 9y^2 = 5\):
складываем: \(x^2 + 6xy + 9y^2 = 4\), так \((x + 3y)^2 = 4\), \(x + 3y = \pm 2\), \(x = -3y \pm 2\).
Подстановка во второе: \(-12y^2 \pm 8y + 9y^2 = 5\), упрощаем до \(-3y^2 \pm 8y — 5 = 0\) (с учетом знаков).
Дискриминант \(D=4\), корни \(y = \frac{-8 \pm 2}{6}\) для каждого случая, давая \(y=1, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\).
Соответствующие \(x\): \(-1, 1, -3, 3\).
Решения: \((-1, 1)\), \((1, -1)\), \((-3, \frac{1}{3})\), \((3, -\frac{1}{3})\).
Для системы \(x^3 y^3 + x^2 y^4 = 12\) и \(x^4 y^2 + x^3 y^3 = 24\):
факторизуем: \(x^2 y^3 (x + y) = 12\), \(x^3 y^2 (x + y) = 24\).
Делим: \(\frac{x}{y} = 2\), так \(x = 2y\).
Подстановка в первое: \(4y^2 \cdot y^3 \cdot 3y = 12\), \(12 y^6 = 12\), \(y^6 = 1\), \(y = \pm 1\).
Соответственно, \(x = \pm 2\).
Решения: \((-2, -1)\), \((2, 1)\).
1) Рассмотрим систему уравнений: первое уравнение \(x^{2} + xy — 3y = -1\), второе уравнение \(4x — y = 3\).
Из второго уравнения выразим переменную \(y\): \(y = 4x — 3\).
Подставим это выражение в первое уравнение: \(x^{2} + x(4x — 3) — 3(4x — 3) = -1\).
Раскроем скобки и упростим: \(x^{2} + 4x^{2} — 3x — 12x + 9 = -1\), что дает \(5x^{2} — 15x + 9 = -1\).
Перенесем константу: \(5x^{2} — 15x + 10 = 0\).
Разделим уравнение на 5: \(x^{2} — 3x + 2 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Найдем корни: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}\), так \(x_{1} = \frac{3 + 1}{2} = 2\), \(x_{2} = \frac{3 — 1}{2} = 1\).
Для \(x_{1} = 2\): \(y_{1} = 4 \cdot 2 — 3 = 8 — 3 = 5\).
Для \(x_{2} = 1\): \(y_{2} = 4 \cdot 1 — 3 = 4 — 3 = 1\).
Проверим решения в исходных уравнениях: для \((1, 1)\): \(1 + 1 — 3 = -1\), верно; \(4 — 1 = 3\), верно. Для \((2, 5)\): \(4 + 10 — 15 = -1\), верно; \(8 — 5 = 3\), верно.
Ответ: \((1; 1)\); \((2; 5)\).
2) Рассмотрим систему уравнений: первое уравнение \((x — 2)(y — 1) = 0\), второе уравнение \(2x^{2} + y^{2} + xy = 7\).
Из первого уравнения следует, что либо \(x = 2\), либо \(y = 1\).
Сначала рассмотрим случай \(x = 2\): подставим во второе уравнение \(2 \cdot 4 + y^{2} + 2y = 7\), что дает \(8 + y^{2} + 2y = 7\), так \(y^{2} + 2y + 1 = 0\).
Это \((y + 1)^{2} = 0\), корень \(y = -1\).
Теперь рассмотрим случай \(y = 1\): подставим во второе уравнение \(2x^{2} + 1 + x = 7\), что дает \(2x^{2} + x — 6 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 1^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49\).
Найдем корни: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}\), так \(x_{1} = \frac{-1 — 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\), \(x_{2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
Проверим решения: для \((2, -1)\): \((2-2)(-1-1)=0\), верно; \(8 + 1 — 2 = 7\), верно. Для \((-2, 1)\): \((-2-2)(1-1)=0\), верно; \(8 + 1 — 2 = 7\), верно. Для \((\frac{3}{2}, 1)\): \((\frac{3}{2}-2)(1-1)=0\), верно; \(2 \cdot \frac{9}{4} + 1 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} + 1 + \frac{3}{2} = 7\), верно.
Ответ: \((2; -1)\); \((-2; 1)\); \((\frac{3}{2}; 1)\).
3) Рассмотрим систему уравнений: первое уравнение \(x^{2} + 2xy = -1\), второе уравнение \(4xy + 9y^{2} = 5\).
Сложим уравнения: \(x^{2} + 6xy + 9y^{2} = 4\), что дает \((x + 3y)^{2} = 4\).
Таким образом, \(x + 3y = \pm 2\), так \(x = -3y \pm 2\).
Рассмотрим два случая. Сначала \(x = -3y + 2\): подставим во второе уравнение \(4y(-3y + 2) + 9y^{2} = 5\), что дает \(-12y^{2} + 8y + 9y^{2} = 5\), так \(-3y^{2} + 8y = 5\), или \(-3y^{2} + 8y — 5 = 0\), умножим на -1: \(3y^{2} — 8y + 5 = 0\).
Дискриминант: \(D = 64 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4\).
Корни: \(y = \frac{8 \pm 2}{6}\), так \(y_{1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\), \(y_{2} = \frac{6}{6} = 1\).
Для \(y = \frac{5}{3}\): \(x = -3 \cdot \frac{5}{3} + 2 = -5 + 2 = -3\).
Для \(y = 1\): \(x = -3 \cdot 1 + 2 = -1\).
Теперь второй случай \(x = -3y — 2\): подставим \(4y(-3y — 2) + 9y^{2} = 5\), что дает \(-12y^{2} — 8y + 9y^{2} = 5\), так \(-3y^{2} — 8y = 5\), или \(-3y^{2} — 8y — 5 = 0\), умножим на -1: \(3y^{2} + 8y + 5 = 0\).
Дискриминант: \(D = 64 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4\).
Корни: \(y = \frac{-8 \pm 2}{6}\), так \(y_{3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\), \(y_{4} = \frac{-6}{6} = -1\).
Для \(y = -\frac{5}{3}\): \(x = -3 \cdot (-\frac{5}{3}) — 2 = 5 — 2 = 3\).
Для \(y = -1\): \(x = -3 \cdot (-1) — 2 = 3 — 2 = 1\).
Проверим все пары в исходных уравнениях, все удовлетворяют.
Ответ: \((-1; 1)\); \((-3; \frac{5}{3})\); \((3; -\frac{5}{3})\); \((1; -1)\).
4) Рассмотрим систему уравнений: первое уравнение \(x^{3} y^{3} + x^{2} y^{4} = 12\), второе уравнение \(x^{4} y^{2} + x^{3} y^{3} = 24\).
Факторизуем: первое \(x^{2} y^{3} (x + y) = 12\), второе \(x^{3} y^{2} (x + y) = 24\).
Поделим второе на первое (предполагая \(x + y \neq 0\) и \(xy \neq 0\)): \(\frac{x^{3} y^{2} (x + y)}{x^{2} y^{3} (x + y)} = \frac{24}{12}\), упрощается до \(\frac{x}{y} = 2\), так \(x = 2y\).
Подставим в первое уравнение: \((2y)^{2} y^{3} (2y + y) = 12\), что дает \(4y^{2} y^{3} \cdot 3y = 12\), так \(12 y^{6} = 12\), \(y^{6} = 1\).
Корни: \(y = \pm 1\) (реальные корни, поскольку \(y^{6} = 1\) дает \(|y| = 1\)).
Для \(y = 1\): \(x = 2 \cdot 1 = 2\).
Для \(y = -1\): \(x = 2 \cdot (-1) = -2\).
Проверим случаи, если \(x + y = 0\): тогда \(y = -x\), подстановка в первое дает \(x^{3} (-x)^{3} + x^{2} (-x)^{4} = -x^{6} + x^{6} = 0 \neq 12\), contradiction. Если \(x=0\) или \(y=0\), левая сторона 0, не равно 12 или 24.
Проверим решения: для \((2, 1)\): \(8 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 12\), \(16 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 24\), верно. Для \((-2, -1)\): аналогично, степени дают положительные значения, верно.
Ответ: \((-2; -1)\); \((2; 1)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.