Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 13 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
1) \(\{ y^{2} — xy + x = 2, \, 5y + x = 12 \}\);
3) \(\{ x^{2} + 5xy = -4, \, 3xy + 16 y^{2} = 13 \}\);
2) \(\{ (x-1)(y+2)=0, \, x^{2} + 2 y^{2} — 4xy = 17 \}\);
4) \(\{ x^{2} y^{2} + x y^{3} = 192, \, x^{3} y + x^{2} y^{2} = 96 \}\).
Решение первой системы: из второго уравнения выражаем \( x = 12 — 5y \), подставляем в первое: \( y^2 — y(12 — 5y) + (12 — 5y) = 2 \), упрощаем до \( 6y^2 — 17y + 10 = 0 \), дискриминант \( D = 289 — 240 = 49 \), корни \( y = \frac{17 \pm 7}{12} \), так \( y_1 = 2 \), \( y_2 = \frac{5}{6} \), соответствующие \( x_1 = 2 \), \( x_2 = \frac{23}{3} — подождите, в расчете x для y=5/6: x=12-25/6=(72-25)/6=47/6? Но по OCR корректировка дает пары (2,2) и другой, объяснение: решениями являются точки (2, 2) и (47/6, 5/6), но OCR имеет опечатки, итог — две пары.
Вторая система: первое уравнение подразумевает x=1 или y=-2, case 1: x=1, подставить во второе \( 1 + 2y^2 — 4y = 17 \), \( 2y^2 — 4y — 16 = 0 \), \( y^2 — 2y — 8 = 0 \), D=36, y=(2±6)/2 так y=4, y=-2; case 2: y=-2, подставить \( x^2 + 2(4) -4x(-2) =17 \), x^2 +8 +8x=17, x^2+8x-9=0, D=100, x=(-8±10)/2 так x=1, x=-9. Объяснение: решения (1,-2), (1,4), (-9,-2), дубликат (1,-2) учитывается раз.
Третья система: суммируем уравнения \( x^2 + 8xy + 16y^2 =9 \), это (x+4y)^2=9, x+4y=±3, x=-4y±3; подставить во второе: 3y(-4y±3)+16y^2=13, для +: 4y^2 +9y -13=0, D=289, y=(-9±17)/8 так y=1, y=-3.25; для -: аналогично y=-1, y=3.25. Соответствующие x: для y=1 x=-1, y=-3.25 x=16, y=-1 x=1, y=3.25 x=-16. Объяснение: пары (-1,1), (16,-3.25), (1,-1), (-16,3.25).
Четвертая система: делим уравнения, получаем y/x=2, y=2x; подставить в первое: x(4x^2)(3x)=192, 12x^4=192, x^4=16, x=±2 (реальные); y=±4. Проверка во втором подтверждает. Объяснение: решения (2,4), (-2,-4).
1) Система уравнений: \( 5y^{2} — xy + x = 2 \), \( 5y + x = 12 \).
Из второго уравнения выражаем \( x = 12 — 5y \).
Подставляем в первое уравнение: \( 5y^{2} — y(12 — 5y) + (12 — 5y) = 2 \).
Упрощаем: \( 5y^{2} — 12y + 5y^{2} + 12 — 5y = 2 \), что дает \( 6y^{2} — 17y + 10 = 0 \).
Дискриминант \( D = 17^{2} — 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 — 240 = 49 \).
Корни: \( y = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{17 \pm 7}{12} \), так \( y_{1} = \frac{24}{12} = 2 \), \( y_{2} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).
Для \( y = 2 \): \( x = 12 — 5 \cdot 2 = 12 — 10 = 2 \).
Для \( y = \frac{5}{6} \): \( x = 12 — 5 \cdot \frac{5}{6} = 12 — \frac{25}{6} = \frac{72}{6} — \frac{25}{6} = \frac{47}{6} \).
В OCR указаны пары (7, something), но по расчету правильные: (2, 2) и \( \left( \frac{47}{6}, \frac{5}{6} \right) \), однако в примере опечатки, ответ совпадает с расчетом как (2; 2) и корректировка.
Ответ: (2; 2), \( \left( \frac{47}{6}; \frac{5}{6} \right) \).
2) Система уравнений: \( (x-1)(y+2) = 0 \), \( x^{2} + 2y^{2} — 4xy = 17 \).
Первое уравнение дает случаи: \( x = 1 \) или \( y = -2 \).
Случай 1: \( x = 1 \), подставляем во второе: \( 1 + 2y^{2} — 4y = 17 \), \( 2y^{2} — 4y — 16 = 0 \), \( y^{2} — 2y — 8 = 0 \).
Дискриминант \( D = 4 + 32 = 36 \), корни \( y = \frac{2 \pm 6}{2} \), так \( y_{1} = 4 \), \( y_{2} = -2 \).
Случай 2: \( y = -2 \), подставляем: \( x^{2} + 2 \cdot 4 — 4x (-2) = 17 \), \( x^{2} + 8 + 8x = 17 \), \( x^{2} + 8x — 9 = 0 \).
Дискриминант \( D = 64 + 36 = 100 \), корни \( x = \frac{-8 \pm 10}{2} \), так \( x_{1} = 1 \), \( x_{2} = -9 \).
Решения: (1; -2), (1; 4), (-9; -2), где (1; -2) повторяется но учитывается раз.
3) Система уравнений: \( x^{2} + 5xy = -4 \), \( 3xy + 16y^{2} = 13 \).
Суммируем уравнения: \( x^{2} + 8xy + 16y^{2} = 9 \), это \( (x + 4y)^{2} = 9 \), так \( x + 4y = \pm 3 \), \( x = -4y \pm 3 \).
Подставляем во второе уравнение.
Для \( x = -4y + 3 \): \( 3y (-4y + 3) + 16y^{2} = 13 \), \( -12y^{2} + 9y + 16y^{2} = 13 \), \( 4y^{2} + 9y — 13 = 0 \).
Дискриминант \( D = 81 + 208 = 289 \), корни \( y = \frac{-9 \pm 17}{8} \), так \( y_{1} = \frac{8}{8} = 1 \), \( y_{2} = \frac{-26}{8} = -3.25 \).
Соответственно, для y=1: x=-4+3=-1; для y=-3.25: x=-4*(-3.25)+3=13+3=16.
Для \( x = -4y — 3 \): аналогично, \( 3y (-4y — 3) + 16y^{2} = 13 \), \( -12y^{2} — 9y + 16y^{2} = 13 \), \( 4y^{2} — 9y — 13 = 0 \).
Дискриминант \( D = 81 + 208 = 289 \), корни \( y = \frac{9 \pm 17}{8} \), так \( y_{3} = \frac{26}{8} = 3.25 \), \( y_{4} = \frac{-8}{8} = -1 \).
Соответственно, для y=3.25: x=-4*3.25-3=-13-3=-16; для y=-1: x=-4*(-1)-3=4-3=1.
Ответ: (16; -3.25), (-1; 1), (1; -1), (-16; 3.25).
4) Система уравнений: \( x^{2} y^{2} + x y^{3} = 192 \), \( x^{3} y + x^{2} y^{2} = 96 \).
Первое: \( x y^{2} (x + y) = 192 \); второе: \( x^{2} y (x + y) = 96 \).
Делим первое на второе: \( \frac{y}{x} = 2 \), так \( y = 2x \).
Подставляем в первое: \( x (2x)^{2} (x + 2x) = 192 \), \( x \cdot 4x^{2} \cdot 3x = 192 \), \( 12 x^{4} = 192 \), \( x^{4} = 16 \), \( x = \pm 2 \) (реальные корни, поскольку x^4=16 дает x= \pm 2, и комплексные но берем реальные).
Для x=2: y=4; для x=-2: y=-4.
Проверка во втором: для (2,4): 8*4 + 4*16=32+64=96; для (-2,-4): (-8)*(-4) + 4*16=32+64=96, да.
Ответ: (-2; -4), (2; 4).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.