ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 13 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(\{ y + 4x = 6, \, x^{2} + 3xy — y^{2} = 3 \}\); 2) \(\{ (x — 2)(y — 4) = 0, \, x^{2} + y^{2} — xy = 12 \}\); 3) \(\{ x^{2} + 7xy = -6, \, 9y^{2} — xy = 10 \}\); 4) \(\{ x^{3} y^{3} — x^{2} y^{4} = -54, \, x^{4} y^{2} — x^{3} y^{3} = -18 \}\).

Решение первой системы: подставляем \( y = 6 — 4x \) во второе уравнение, получаем \( x^2 + 3x(6-4x) — (6-4x)^2 = 3 \), упрощаем до \( -27x^2 + 66x — 39 = -3 \), или \( 27x^2 — 66x + 36 = 0 \), делим на 3: \( 9x^2 — 22x + 12 = 0 \). Дискриминант \( D = 484 — 432 = 52 \), корни \( x = \frac{22 \pm \sqrt{52}}{18} = \frac{11 \pm \sqrt{13}}{9} \), соответствующие \( y = 6 — 4x \).

Решение второй системы: из первого уравнения либо \( x=2 \), либо \( y=4 \). Для \( x=2 \): \( 4 + y^2 — 2y = 12 \), \( y^2 — 2y — 8 = 0 \), корни \( y = 1 \pm \sqrt{9} = 4, -2 \). Для \( y=4 \): \( x^2 + 16 — 4x = 12 \), \( x^2 — 4x + 4 = 0 \), \( x=2 \) (двойной корень). Решения: (2,4), (2,-2).

Решение третьей системы: складываем уравнения, \( x^2 + 6xy + 9y^2 = 4 \), \( (x+3y)^2 = 4 \), \( x+3y = \pm 2 \), \( x = -3y \pm 2 \). Подставляем во второе: для плюса \( 9y^2 — y(-3y+2) = 10 \), \( 12y^2 — 2y — 10 = 0 \); для минуса \( 12y^2 + 2y — 10 = 0 \). Решаем квадраты, находим пары (x,y).

Решение четвертой системы: перепишем как \( x^2 y^3 (x — y) = -54 \), \( x^3 y^2 (x — y) = -18 \). Делим: \( \frac{x^2 y^3 (x-y)}{x^3 y^2 (x-y)} = \frac{-54}{-18} \), упрощается до \( \frac{y}{x} = 3 \), \( y=3x \). Подставляем в первое: \( x^2 (27x^3) (x-3x) = -54 \), \( 27x^5 (-2x) = -54 \), \( -54x^6 = -54 \), \( x^6=1 \), \( x = \pm 1 \), \( y = \pm 3 \). Решения: (1,3), (-1,-3).

1) Рассмотрим систему уравнений: \( y + 4x = 6 \) и \( x^2 + 3xy — y^2 = 3 \).

Из первого уравнения выразим \( y = 6 — 4x \).

Подставим это выражение во второе уравнение: \( x^2 + 3x(6 — 4x) — (6 — 4x)^2 = 3 \).

Сначала вычислим \( 3x(6 — 4x) = 18x — 12x^2 \).

Затем \( (6 — 4x)^2 = 36 — 48x + 16x^2 \).

Теперь подставляем: \( x^2 + 18x — 12x^2 — (36 — 48x + 16x^2) = 3 \), что равно \( x^2 + 18x — 12x^2 — 36 + 48x — 16x^2 = 3 \).

Объединим подобные члены: \( (x^2 — 12x^2 — 16x^2) + (18x + 48x) — 36 = 3 \), то есть \( -27x^2 + 66x — 36 = 3 \).

Перенесем 3 влево: \( -27x^2 + 66x — 39 = 0 \).

Умножим на -1: \( 27x^2 — 66x + 39 = 0 \).

Разделим на 3: \( 9x^2 — 22x + 13 = 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = (-22)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 13 = 484 — 468 = 16 \).

Корни: \( x = \frac{22 \pm \sqrt{16}}{18} = \frac{22 \pm 4}{18} \).

Таким образом, \( x_1 = \frac{22 + 4}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9} \), \( x_2 = \frac{22 — 4}{18} = \frac{18}{18} = 1 \).

Для \( x_1 = \frac{13}{9} \): \( y_1 = 6 — 4 \cdot \frac{13}{9} = 6 — \frac{52}{9} = \frac{54}{9} — \frac{52}{9} = \frac{2}{9} \).

Для \( x_2 = 1 \): \( y_2 = 6 — 4 \cdot 1 = 2 \).

Ответ: \( \left(1; 2\right) \); \( \left(\frac{13}{9}; \frac{2}{9}\right) \).

2) Рассмотрим систему уравнений: \( (x — 2)(y — 4) = 0 \) и \( x^2 + y^2 — xy = 12 \).

Из первого уравнения следует, что либо \( x = 2 \), либо \( y = 4 \).

Сначала случай \( x = 2 \): подставим во второе уравнение \( 4 + y^2 — 2y = 12 \), то есть \( y^2 — 2y — 8 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 4 + 32 = 36 \), корни \( y = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \).

Таким образом, \( y_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \), \( y_2 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \).

Теперь случай \( y = 4 \): подставим во второе уравнение \( x^2 + 16 — 4x = 12 \), то есть \( x^2 — 4x + 4 = 0 \), или \( (x — 2)^2 = 0 \), так что \( x = 2 \).

Решения: \( (2; -2) \); \( (2; 4) \).

3) Рассмотрим систему уравнений: \( x^2 + 7xy = -6 \) и \( 9y^2 — xy = 10 \).

Сложим уравнения: \( x^2 + 6xy + 9y^2 = 4 \), то есть \( (x + 3y)^2 = 4 \), следовательно \( x + 3y = \pm 2 \), и \( x = -3y \pm 2 \).

Подставим во второе уравнение. Сначала для \( x = -3y + 2 \): \( 9y^2 — y(-3y + 2) = 10 \), то есть \( 9y^2 + 3y^2 — 2y = 10 \), \( 12y^2 — 2y — 10 = 0 \), разделим на 2: \( 6y^2 — y — 5 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 1 + 120 = 121 \), корни \( y = \frac{1 \pm 11}{12} \).

Таким образом, \( y_1 = \frac{1 + 11}{12} = 1 \), \( y_2 = \frac{1 — 11}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \).

Для \( y_1 = 1 \): \( x_1 = -3 \cdot 1 + 2 = -1 \).

Для \( y_2 = -\frac{5}{6} \): \( x_2 = -3 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) + 2 = \frac{15}{6} + 2 = \frac{15}{6} + \frac{12}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \).

Теперь для \( x = -3y — 2 \): \( 9y^2 — y(-3y — 2) = 10 \), то есть \( 9y^2 + 3y^2 + 2y = 10 \), \( 12y^2 + 2y — 10 = 0 \), разделим на 2: \( 6y^2 + y — 5 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 1 + 120 = 121 \), корни \( y = \frac{-1 \pm 11}{12} \).

Таким образом, \( y_3 = \frac{-1 + 11}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \), \( y_4 = \frac{-1 — 11}{12} = -1 \).

Для \( y_3 = \frac{5}{6} \): \( x_3 = -3 \cdot \frac{5}{6} — 2 = -\frac{15}{6} — \frac{12}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} \).

Для \( y_4 = -1 \): \( x_4 = -3 \cdot (-1) — 2 = 3 — 2 = 1 \).

Ответ: \( \left(\frac{9}{2}; -\frac{5}{6}\right) \); \( \left(-1; 1\right) \); \( \left(1; -1\right) \); \( \left(-\frac{9}{2}; \frac{5}{6}\right) \).

4) Рассмотрим систему уравнений: \( x^3 y^3 — x^2 y^4 = -54 \) и \( x^4 y^2 — x^3 y^3 = -18 \).

Перепишем как \( x^2 y^3 (x — y) = -54 \) и \( x^3 y^2 (x — y) = -18 \).

Поделим первое на второе: \( \frac{x^2 y^3 (x — y)}{x^3 y^2 (x — y)} = \frac{-54}{-18} = 3 \), упрощается до \( \frac{y}{x} = 3 \), так что \( y = 3x \).

Подставим в первое уравнение: \( x^2 (3x)^3 (x — 3x) = -54 \), то есть \( x^2 \cdot 27x^3 \cdot (-2x) = -54 \), \( 27x^5 (-2x) = -54 \), \( -54x^6 = -54 \), \( x^6 = 1 \).

Таким образом, \( x = \pm 1 \) (реальные корни).

Для \( x = 1 \): \( y = 3 \cdot 1 = 3 \).

Для \( x = -1 \): \( y = 3 \cdot (-1) = -3 \).

Ответ: \( (-1; -3) \); \( (1; 3) \).