ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 14 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\frac{1}{2}, \\ 2x-3y=3 \end{cases}\);
3) \(\begin{cases} x^{2}-5xy+6y^{2}=0, \\ 3x^{2}+2xy-y^{2}=15 \end{cases}\);
2) \(\begin{cases} \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{y^{2}-2}=3, \\ x^{2}+y^{2}=5 \end{cases}\);
4) \(\begin{cases} x+y-xy=-2, \\ xy(x+y)=48 \end{cases}\).

1) \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac12 ;\; 2x — 3y = 3\)
Пусть \(t = \frac{x}{y}\), тогда:
\(t + \frac1t = \frac52,\; 2t^{2} — 5t + 2 = 0;\)
\(D = 5^{2} — 4\cdot2\cdot2 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(t_{1} = \frac{5 — 3}{2\cdot2} = \frac12\) и \(t_{2} = \frac{5 + 3}{2\cdot2} = 2;\)

Первое значение:
\(\frac{x}{y} = \frac12,\; y = 2x;\)
\(2x — 3y = 3;\; 4x = -3,\; x = -0{,}75;\; y = 2(-0{,}75) = -1{,}5;\)

Второе значение:
\(\frac{x}{y} = 2,\; x = 2y;\)
\(4y — 3y = 3;\; y = 3,\; x = 2\cdot3 = 6;\)

Ответ: \((-0{,}75;\,-1{,}5),\; (6;\,3)\).

2) \(\sqrt{x^{2}+2} + \sqrt{y^{2}-2} = 3;\; x^{2} + y^{2} = 5\)
Второе уравнение: \(y^{2} = 5 — x^{2};\)

Первое уравнение:
\(\sqrt{x^{2}+2} + \sqrt{3 — x^{2}} = 3;\)
\(x^{2}+2 + 2\sqrt{(x^{2}+2)(3 — x^{2})} + 3 — x^{2} = 9;\)
\(2\sqrt{3x^{2} — x^{4} + 6 — 2x^{2}} = 4,\; \sqrt{x^{2} — x^{4} + 6} = 2;\)
\(x^{2} — x^{4} + 6 = 4;\; x^{4} — x^{2} — 2 = 0;\)
\(D = 1^{2} + 4\cdot2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(x^{2}_{1} = \frac{1 — 3}{2} = -1,\; x^{2}_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2;\)
\(x_{1} \in \emptyset,\; x_{2} = \pm\sqrt2;\)

Второе уравнение: \(y^{2} = 3,\; y = \pm\sqrt3;\)

Ответ: \((-\sqrt2;\,-\sqrt3),\; (-\sqrt2;\,\sqrt3),\; (\sqrt2;\,-\sqrt3),\; (\sqrt2;\,\sqrt3)\).

3) \(x^{2} — 5xy + 6y^{2} = 0;\; 3x^{2} + 2xy — y^{2} = 15\)

Первое уравнение:
\(x^{2} — 5yx + 6y^{2} = 0;\)
\(D = (5y)^{2} — 4\cdot6y^{2} = 25y^{2} — 24y^{2} = y^{2},\) тогда:
\(x_{1} = \frac{5y — y}{2} = 2y\) и \(x_{2} = \frac{5y + y}{2} = 3y;\)

Первое значение:
\(12y^{2} + 4y^{2} — y^{2} = 15;\; 15y^{2} = 15,\; y^{2} = 1;\; y = \pm1,\; x = \pm2;\)

Второе значение:
\(27y^{2} + 6y^{2} — y^{2} = 15;\; 32y^{2} = 15,\; y^{2} = \frac{15}{32};\)
\(y = \pm\frac{\sqrt{30}}{8},\; x = \pm\frac{3\sqrt{30}}{8};\)

Ответ: \((-2;\,-1),\; (2;\,1),\; (-\frac{3\sqrt{30}}{8};\,-\frac{\sqrt{30}}{8}),\; (\frac{3\sqrt{30}}{8};\,\frac{\sqrt{30}}{8})\).

4) \(x + y — xy = -2;\; xy(x + y) = 48\)

Пусть \(u = x + y\) и \(t = xy\), тогда:
\(u — t = -2,\; u = t — 2,\; ut = 48;\)
\(t(t — 2) = 48;\; t^{2} — 2t — 48 = 0;\)
\(D = 2^{2} + 4\cdot48 = 4 + 192 = 196,\) тогда:
\(t_{1} = \frac{2 — 14}{2} = -6,\; t_{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8;\)
\(u_{1} = -6 — 2 = -8,\; u_{2} = 8 — 2 = 6;\)

Первое значение:
\(x + y = -8,\; y = -x — 8;\; xy = -6;\)
\(x(-x — 8) = -6;\; x^{2} + 8x — 6 = 0;\)
\(D = 8^{2} + 4\cdot6 = 64 + 24 = 88;\)
\(x = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2} = -4 \pm \sqrt{22};\)
\(y = -(-4 \pm \sqrt{22}) — 8 = -4 \mp \sqrt{22};\)

Второе значение:
\(x + y = 6,\; y = 6 — x;\; xy = 8;\)
\(x(6 — x) = 8;\; x^{2} — 6x + 8 = 0;\)
\(D = 6^{2} — 4\cdot8 = 36 — 32 = 4;\)
\(x_{1} = \frac{6 — 2}{2} = 2,\; x_{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4;\)
\(y_{1} = 4,\; y_{2} = 2;\)

Ответ: \((2;\,4),\; (-4 + \sqrt{22};\,-4 — \sqrt{22}),\; (4;\,2),\; (-4 — \sqrt{22};\,-4 + \sqrt{22})\).

Задача 1. Система \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac12 \) и \( 2x — 3y = 3 \) содержит две взаимосвязи между \( x \) и \( y \). Полагая \( t = \frac{x}{y} \), избавляемся от одной переменной: \( t + \frac{1}{t} = \frac52 \). Умножаем на \( t \) и получаем квадратное уравнение \( 2t^{2} — 5t + 2 = 0 \). Дискриминант \( D = 5^{2} — 4\cdot2\cdot2 = 25 — 16 = 9 \) даёт корни \( t_{1} = \frac{5 — 3}{4} = \frac12 \) и \( t_{2} = \frac{5 + 3}{4} = 2 \). При \( t = \frac12 \) имеем \( \frac{x}{y} = \frac12 \Rightarrow y = 2x \). Подставляя во второе уравнение, получаем \( 2x — 3\cdot2x = 3 \Rightarrow -4x = 3 \Rightarrow x = -0{,}75 \). Тогда \( y = 2(-0{,}75) = -1{,}5 \). При \( t = 2 \) имеем \( \frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y \). Подстановка в \( 2x — 3y = 3 \) даёт \( 4y — 3y = 3 \Rightarrow y = 3 \). Отсюда \( x = 6 \). Таким образом, два решения: \((-0{,}75;\,-1{,}5)\) и \((6;\,3)\).

Задача 2. В уравнениях \( \sqrt{x^{2}+2} + \sqrt{y^{2}-2} = 3 \) и \( x^{2} + y^{2} = 5 \) сначала выражаем \( y^{2} = 5 — x^{2} \). Тогда второе радикальное слагаемое становится \( \sqrt{3 — x^{2}} \). Складываем радикалы: \( \sqrt{x^{2}+2} + \sqrt{3 — x^{2}} = 3 \). Переносим один корень, возводим в квадрат, приводим подобные, получаем \( 2\sqrt{(x^{2}+2)(3 — x^{2})} = 4 \). Делим на \(2\), снова возводим в квадрат и приходим к \( x^{4} — x^{2} — 2 = 0 \). Обозначив \( z = x^{2} \), решаем \( z^{2} — z — 2 = 0 \), имеем \( z_{1} = -1 \) (не подходит) и \( z_{2} = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt2 \). Для каждого \( x \) из второго уравнения выводим \( y^{2} = 3 \Rightarrow y = \pm\sqrt3 \). Итоговые четыре упорядоченные пары: \((-\sqrt2;\,-\sqrt3)\), \((-\sqrt2;\,\sqrt3)\), \((\sqrt2;\,-\sqrt3)\), \((\sqrt2;\,\sqrt3)\).

Задача 3. В первом уравнении \( x^{2} — 5xy + 6y^{2} = 0 \) рассматриваем его как квадратное относительно \( x \): дискриминант \( y^{2} \) даёт корни \( x = 2y \) и \( x = 3y \). Подставляем каждый в второе уравнение \( 3x^{2} + 2xy — y^{2} = 15 \). Для \( x = 2y \) получается \( 3(2y)^{2} + 2(2y)y — y^{2} = 15 \Rightarrow 12y^{2} + 4y^{2} — y^{2} = 15 \Rightarrow 15y^{2} = 15 \Rightarrow y^{2} = 1 \). Поэтому \( y = \pm1 \) и \( x = \pm2 \). Для \( x = 3y \) имеем \( 3(3y)^{2} + 2(3y)y — y^{2} = 15 \Rightarrow 27y^{2} + 6y^{2} — y^{2} = 15 \Rightarrow 32y^{2} = 15 \Rightarrow y^{2}=\)
\( = \frac{15}{32} \). Отсюда \( y = \pm\frac{\sqrt{30}}{8} \) и \( x = \pm\frac{3\sqrt{30}}{8} \). Полный набор четырёх решений: \((-2;\,-1)\), \((2;\,1)\), \((-\frac{3\sqrt{30}}{8};\,-\frac{\sqrt{30}}{8})\), \((\frac{3\sqrt{30}}{8};\,\frac{\sqrt{30}}{8})\).

Задача 4. Заменяем \( u = x + y \) и \( t = xy \). Система принимает вид \( u — t = -2 \) и \( ut = 48 \). Из первого выражаем \( u = t — 2 \) и подставляем во второе, получая квадратное относительно \( t \): \( t^{2} — 2t — 48 = 0 \). Дискриминант \( 2^{2} + 4\cdot48 = 196 \) даёт \( t_{1} = -6 \) и \( t_{2} = 8 \). Тогда \( u_{1} = -6 — 2 = -8 \), \( u_{2} = 8 — 2 = 6 \).

При \( u = -8 \) и \( t = -6 \) решаем \( x + y = -8 \) и \( xy = -6 \). Составляем квадратное \( x^{2} + 8x — 6 = 0 \). Дискриминант \( 8^{2} + 24 = 88 \) даёт корни \( x = -4 \pm \sqrt{22} \). Соответственно \( y = -8 — x = -4 \mp \sqrt{22} \). Таким образом пара значений идёт сразу в обе ориентации, что даёт два симметричных решения \((-4 + \sqrt{22};\,-4 — \sqrt{22})\) и \((-4 — \sqrt{22};\,-4 + \sqrt{22})\).

При \( u = 6 \) и \( t = 8 \) решаем \( x + y = 6 \) и \( xy = 8 \). Получаем квадратное \( x^{2} — 6x + 8 = 0 \). Дискриминант \( 6^{2} — 32 = 4 \) даёт корни \( x = 2 \) или \( x = 4 \). Соответственно \( y = 4 \) или \( y = 2 \). Отсюда две точки \((2;\,4)\) и \((4;\,2)\).

Все решения каждой задачи продемонстрированы путём систематической подстановки, раскрытия радикалов либо перехода к стандартному квадратному уравнению с анализом дискриминанта. Каждое уравнение сведено к простому виду, позволяющему выделить допустимые значения и отбросить посторонние корни, что гарантирует полноту и корректность результата.