Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 14 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
1) \(\left\{ \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \quad 2x — 5y = 9 \right\}\)
2) \(\left\{ \sqrt{x^{2} — 4} + \sqrt{y^{2} + 4} = 6, \quad x^{2} + y^{2} = 26 \right\}\)
3) \(\left\{ x^{2} + 2xy — 10y^{2} = 0, \quad x^{2} + 2xy — y^{2} = 28 \right\}\)
4) \(\left\{ x — y + xy = 10, \quad xy(x — y) = 16 \right\}\)
1) \( \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{15}{4};\; 2x-5y=9 \)
Пусть \( t=\frac{x}{y} \), тогда:
\( 4t^{2}-15t-4=0 \);
\( D=15^{2}+4\cdot4\cdot4=225+64=289 \), тогда:
\( t_{1}=\frac{15-17}{2\cdot4}=-\frac14 \) и \( t_{2}=\frac{15+17}{2\cdot4}=\frac{32}{8}=4 \).
Первое значение: \( \frac{x}{y}=-\frac14,\; y=-4x;\; 2x+20x=9;\; 22x=9,\; x=\frac{9}{22},\; y=-\frac{18}{11} \).
Второе значение: \( \frac{x}{y}=4,\; x=4y;\; 8y-5y=9;\; 3y=9,\; y=3,\; x=12 \).
Ответ: \( \left(\frac{9}{22};-\frac{18}{11}\right);\;(12;3) \).
2) \( \sqrt{x^{2}-4}+\sqrt{y^{2}+4}=6;\; x^{2}+y^{2}=26 \)
Второе уравнение: \( y^{2}=26-x^{2} \).
Первое уравнение: \( \sqrt{x^{2}-4}+\sqrt{30-x^{2}}=6 \);
\( x^{2}-4+2\sqrt{(x^{2}-4)(30-x^{2})}+30-x^{2}=36 \);
\( 2\sqrt{30x^{2}-x^{4}-120+4x^{2}}=10,\; \sqrt{34x^{2}-x^{4}-120}=5 \);
\( 34x^{2}-x^{4}-120=25;\; x^{4}-34x^{2}+145=0 \);
\( D=34^{2}-4\cdot145=1156-580=576 \), тогда:
\( x^{2}_{1}=\frac{34-24}{2}=5 \) и \( x^{2}_{2}=\frac{34+24}{2}=29 \).
Первое значение: \( y^{2}=21,\; y=\pm\sqrt{21} \).
Второе значение: \( y^{2}=-3,\; y=\emptyset \).
Ответ: \((-\sqrt5;-\sqrt{21});\;(-\sqrt5;\sqrt{21});\;(\sqrt5;-\sqrt{21});\;(\sqrt5;\sqrt{21})\).
3) \( x^{2}+3xy-10y^{2}=0;\; x^{2}+2xy-y^{2}=28 \)
Первое уравнение: \( D=(3y)^{2}+4\cdot10y^{2}=9y^{2}+40y^{2}=49y^{2} \), тогда:
\( x_{1}=\frac{-3y-7y}{2}=-5y \) и \( x_{2}=\frac{ -3y+7y}{2}=2y \).
Первое значение: \( 25y^{2}-10y^{2}-y^{2}=28;\; 14y^{2}=28,\; y=\pm\sqrt2,\; x=\mp5\sqrt2 \).
Второе значение: \( 4y^{2}+4y^{2}-y^{2}=28;\; 7y^{2}=28,\; y=\pm2,\; x=\pm4 \).
Ответ: \((-4;-2);\;(4;2);\;(-5\sqrt2;\sqrt2);\;(5\sqrt2;-\sqrt2)\).
4) \( x-y+xy=10;\; xy(x-y)=16 \)
Пусть \( u=x-y,\; t=xy \), тогда: \( u+t=10,\; ut=16 \).
\( t^{2}-10t+16=0;\; D=10^{2}-4\cdot16=100-64=36 \), тогда:
\( t_{1}=8,\; t_{2}=2 \).
Первое значение: \( t=8,\; u=2 \Rightarrow x-y=2,\; xy=8 \).
\( x^{2}-2x-8=0 \), \( x=4 \) или \( x=-2 \); \( y=2 \) или \( y=-4 \).
Второе значение: \( t=2,\; u=8 \Rightarrow x-y=8,\; xy=2 \).
\( x^{2}-8x-2=0 \), \( x=4\pm3\sqrt2 \); \( y=-4\pm3\sqrt2 \).
Ответ: \((-2;-4);\;(4;2);\;(4+3\sqrt2;-4+3\sqrt2);\;(4-3\sqrt2;-4-3\sqrt2)\).
1) Рассмотрим уравнение \( \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \). Пусть \( t = \frac{x}{y} \). Тогда уравнение перепишется как \( t — \frac{1}{t} = \frac{15}{4} \). Домножим на \( t \), получим \( t^{2} — 1 = \frac{15}{4} t \), что эквивалентно \( 4t^{2} — 15t — 4 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = (-15)^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 \). Корни уравнения:
\( t_{1} = \frac{15 — 17}{8} = -\frac{1}{4} \) и \( t_{2} = \frac{15 + 17}{8} = 4 \).
Для \( t_{1} = -\frac{1}{4} \) имеем \( \frac{x}{y} = -\frac{1}{4} \), значит \( y = -4x \). Подставим в уравнение \( 2x — 5y = 9 \):
\( 2x — 5(-4x) = 2x + 20x = 22x = 9 \), откуда \( x = \frac{9}{22} \), следовательно \( y = -\frac{18}{11} \).
Для \( t_{2} = 4 \) имеем \( x = 4y \). Подставим в уравнение \( 2x — 5y = 9 \):
\( 2 \cdot 4y — 5y = 8y — 5y = 3y = 9 \), откуда \( y = 3 \), следовательно \( x = 12 \).
Ответ: \( \left( \frac{9}{22}; -\frac{18}{11} \right) \), \( (12; 3) \).
2) Дано уравнение \( \sqrt{x^{2} — 4} + \sqrt{y^{2} + 4} = 6 \) и условие \( x^{2} + y^{2} = 26 \). Выразим \( y^{2} = 26 — x^{2} \).
Подставим в первое уравнение:
\( \sqrt{x^{2} — 4} + \sqrt{30 — x^{2}} = 6 \).
Возведём обе части в квадрат:
\( x^{2} — 4 + 2 \sqrt{(x^{2} — 4)(30 — x^{2})} + 30 — x^{2} = 36 \),
что упрощается до
\( 2 \sqrt{(x^{2} — 4)(30 — x^{2})} = 10 \),
и, следовательно,
\( \sqrt{(x^{2} — 4)(30 — x^{2})} = 5 \).
Ещё раз возведём в квадрат:
\( (x^{2} — 4)(30 — x^{2}) = 25 \),
откуда
\( 30x^{2} — x^{4} — 120 + 4x^{2} = 25 \),
или
\( -x^{4} + 34x^{2} — 145 = 0 \),
что эквивалентно
\( x^{4} — 34x^{2} + 145 = 0 \).
Пусть \( z = x^{2} \), тогда уравнение:
\( z^{2} — 34z + 145 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = 34^{2} — 4 \cdot 145 = 1156 — 580 = 576 \).
Корни:
\( z_{1} = \frac{34 — 24}{2} = 5 \),
\( z_{2} = \frac{34 + 24}{2} = 29 \).
При \( z_{1} = 5 \) имеем \( y^{2} = 26 — 5 = 21 \), значит \( y = \pm \sqrt{21} \).
При \( z_{2} = 29 \) получаем \( y^{2} = 26 — 29 = -3 \), решений нет.
Ответ: \( (-\sqrt{5}; -\sqrt{21}) \), \( (-\sqrt{5}; \sqrt{21}) \), \( (\sqrt{5}; -\sqrt{21}) \), \( (\sqrt{5}; \sqrt{21}) \).
3) Дано \( x^{2} + 3xy — 10y^{2} = 0 \) и \( x^{2} + 2xy — y^{2} = 28 \).
Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно \( x \):
Дискриминант \( D = (3y)^{2} + 4 \cdot 10 y^{2} = 9y^{2} + 40 y^{2} = 49 y^{2} \).
Корни:
\( x_{1} = \frac{-3y — 7y}{2} = -5y \),
\( x_{2} = \frac{-3y + 7y}{2} = 2y \).
Подставим \( x = -5y \) во второе уравнение:
\( 25 y^{2} — 10 y^{2} — y^{2} = 28 \),
то есть
\( 14 y^{2} = 28 \),
откуда
\( y = \pm \sqrt{2} \),
тогда
\( x = \mp 5 \sqrt{2} \).
Подставим \( x = 2y \) во второе уравнение:
\( 4 y^{2} + 4 y^{2} — y^{2} = 28 \),
то есть
\( 7 y^{2} = 28 \),
откуда
\( y = \pm 2 \),
тогда
\( x = \pm 4 \).
Ответ: \( (-4; -2) \), \( (4; 2) \), \( (-5 \sqrt{2}; \sqrt{2}) \), \( (5 \sqrt{2}; -\sqrt{2}) \).
4) Дано \( x — y + xy = 10 \) и \( xy(x — y) = 16 \).
Обозначим \( u = x — y \), \( t = xy \). Тогда:
\( u + t = 10 \),
\( u t = 16 \).
Рассмотрим уравнение для \( t \):
\( t^{2} — 10 t + 16 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = 100 — 64 = 36 \).
Корни:
\( t_{1} = \frac{10 — 6}{2} = 2 \),
\( t_{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 \).
Для \( t = 8 \), \( u = 2 \), имеем систему:
\( x — y = 2 \),
\( xy = 8 \).
Решим квадратное уравнение:
\( x^{2} — 2 x — 8 = 0 \),
корни:
\( x = 4 \) или \( x = -2 \).
Если \( x = 4 \), тогда \( y = 2 \). Если \( x = -2 \), тогда \( y = -4 \).
Для \( t = 2 \), \( u = 8 \), имеем систему:
\( x — y = 8 \),
\( xy = 2 \).
Решим квадратное уравнение:
\( x^{2} — 8 x — 2 = 0 \),
корни:
\( x = 4 + 3 \sqrt{2} \) или \( x = 4 — 3 \sqrt{2} \).
Если \( x = 4 + 3 \sqrt{2} \), тогда \( y = -4 + 3 \sqrt{2} \).
Если \( x = 4 — 3 \sqrt{2} \), тогда \( y = -4 — 3 \sqrt{2} \).
Ответ: \( (-2; -4) \), \( (4; 2) \), \( (4 + 3 \sqrt{2}; -4 + 3 \sqrt{2}) \), \( (4 — 3 \sqrt{2}; -4 — 3 \sqrt{2}) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.