ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 14 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\left\{\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{16}{15}\right\}\);
3) \(\left\{x^2 + xy — 12 y^2 = 0, \quad 2 x^2 — 3 xy + y^2 = 90\right\}\);
2) \(\left\{\sqrt{x^2 — 5} + \sqrt{y^2 + 5} = 7, \quad x^2 + y^2 = 29\right\}\);
4) \(\left\{x + y + xy = -19, \quad xy(x + y) = 20\right\}\).

1) \(\begin{cases} \frac{y}{x} — \frac{x}{y} = \frac{16}{15} \\ 4y — 5x = 15 \end{cases}\)

Пусть \(t = \frac{y}{x}\), тогда:

\(t — \frac{1}{t} = \frac{16}{15} \Rightarrow 15t^2 — 16t — 15 = 0\);

\(D = 16^2 + 4 \cdot 15 \cdot 15 = 256 + 900 = 1156\), тогда:

\(t_1 = \frac{16 — 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}\) и \(t_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}\);

Первое значение:

\(\frac{y}{x} = -\frac{3}{5}, y = -\frac{3}{5}x;\)

\(-\frac{12}{5}x — 5x = 15;\)

\(-\frac{37}{5}x = 15, x = -2 \frac{1}{37};\)

\(y = -\frac{3}{5} \cdot \left(-2 \frac{1}{37}\right) = 1 \frac{8}{37};\)

Второе значение:

\(\frac{y}{x} = \frac{5}{3}, y = \frac{5}{3}x;\)

\(\frac{20}{3}x — 5x = 15;\)

\(\frac{5}{3}x = 15, x = 9;\)

\(y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15;\)

Ответ: \(\left(-2 \frac{1}{37}; 1 \frac{8}{37}\right); (9; 15).\)

2) \(\begin{cases} \sqrt{x^2 — 5} + \sqrt{y^2 + 5} = 7 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}\)

Второе уравнение: \(y^2 = 29 — x^2;\)

Первое уравнение:

\(\sqrt{x^2 — 5} + \sqrt{34 — x^2} = 7;\)

\(x^2 — 5 + 2 \cdot \sqrt{(x^2 — 5)(34 — x^2)} + 34 — x^2 = 49;\)

\(2 \sqrt{34x^2 — x^4 — 170 + 5x^2} = 20, \sqrt{39x^2 — x^4 — 170} = 10;\)

\(39x^2 — x^4 — 170 = 100;\)

\(x^4 — 39x^2 + 270 = 0;\)

\(D = 39^2 — 4 \cdot 270 = 1521 — 1080 = 441\), тогда:

\(x_1^2 = \frac{39 — 21}{2} = 9\) и \(x_2^2 = \frac{39 + 21}{2} = 30;\)

\(x_1 = \pm 3\) и \(x_2 = \pm \sqrt{30};\)

Первое значение:

\(y^2 = 20, y = \pm 2\sqrt{5};\)

Второе значение:

\(y^2 = -1, y \in \emptyset;\)

Ответ: \((-3; \pm 2\sqrt{5}); (-3; 2\sqrt{5}); (3; -2\sqrt{5}); (3; 2\sqrt{5}).\)

3) \(\begin{cases} x^2 + xy — 12y^2 = 0 \\ 2x^2 — 3xy + y^2 = 90 \end{cases}\)

Первое уравнение:

\(x^2 + yx — 12y^2 = 0;\)

\(D = y^2 + 4 \cdot 12 y^2 = y^2 + 48 y^2 = 49 y^2\), тогда:

\(x_1 = \frac{-y — 7y}{2} = -4y\) и \(x_2 = \frac{-y + 7y}{2} = 3y;\)

Первое значение:

\(32 y^2 + 12 y^2 + y^2 = 90;\)

\(45 y^2 = 90, y^2 = 2;\)

\(y = \pm \sqrt{2}, x = \pm 4 \sqrt{2};\)

Второе значение:

\(18 y^2 — 9 y^2 + y^2 = 90;\)

\(10 y^2 = 90, y^2 = 9;\)

\(y = \pm 3, x = \pm 9;\)

Ответ: \((-9; -3); (9; 3); (-4\sqrt{2}; \sqrt{2}); (4\sqrt{2}; -\sqrt{2}).\)

4) \(\begin{cases} x + y + xy = -19 \\ xy(x + y) = -20 \end{cases}\)

Пусть \(u = x + y\) и \(t = xy\), тогда:

\(u + t = -19, u = -t — 19, ut = -20;\)

\(t(-t — 19) = -20;\)

\(t^2 + 19t — 20 = 0;\)

\(D = 19^2 + 4 \cdot 20 = 361 + 80 = 441\), тогда:

\(t_1 = \frac{-19 — 21}{2} = -20\), \(t_2 = \frac{-19 + 21}{2} = 1;\)

\(u_1 = 20 — 19 = 1\) и \(u_2 = -1 — 19 = -20;\)

Первое значение:

\(x + y = 1, y = 1 — x;\)

\(xy = -20, x(1 — x) = -20;\)

\(x^2 — x — 20 = 0;\)

\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:

\(x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;\)

\(y_1 = 1 + 4 = 5\) и \(y_2 = 1 — 5 = -4;\)

Второе значение:

\(x + y = -20, y = -x — 20;\)

\(xy = 1, x(-x — 20) = 1;\)

\(x^2 + 20x + 1 = 0;\)

\(D = 20^2 — 4 \cdot 1 = 400 — 4 = 396,\) тогда:

\(x = \frac{-20 \pm \sqrt{396}}{2} = \frac{-20 \pm 6\sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3\sqrt{11};\)

\(y = -10 \mp 3\sqrt{11} — 20 = -10 \mp 3\sqrt{11};\)

Ответ: \((-4; 5); (-10 + 3\sqrt{11}; -10 — 3\sqrt{11}); (5; -4); (-10 — 3\sqrt{11}; -10 + 3\sqrt{11}).\)

1) Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} \frac{y}{x} — \frac{x}{y} = \frac{16}{15} \\ 4y — 5x = 15 \end{cases}\)

Пусть \(t = \frac{y}{x}\). Тогда первое уравнение перепишется как:
\(t — \frac{1}{t} = \frac{16}{15}\). Умножим на \(t\):
\(t^2 — 1 = \frac{16}{15} t\), или
\(15 t^2 — 16 t — 15 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (-16)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156\).

Найдём корни:
\(t_1 = \frac{16 — 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}\),
\(t_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}\).

Для \(t_1 = -\frac{3}{5}\):
\(\frac{y}{x} = -\frac{3}{5}\), значит \(y = -\frac{3}{5} x\). Подставим во второе уравнение:
\(4y — 5x = 15\),
\(4 \cdot \left(-\frac{3}{5} x\right) — 5x = 15\),
\(-\frac{12}{5} x — 5x = 15\),
\(-\frac{12}{5} x — \frac{25}{5} x = 15\),
\(-\frac{37}{5} x = 15\),
\(x = -\frac{15 \cdot 5}{37} = -\frac{75}{37} = -2 \frac{1}{37}\).

Тогда \(y = -\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{75}{37}\right) = \frac{225}{185} = 1 \frac{8}{37}\).

Для \(t_2 = \frac{5}{3}\):
\(\frac{y}{x} = \frac{5}{3}\), значит \(y = \frac{5}{3} x\). Подставим во второе уравнение:
\(\frac{20}{3} x — 5x = 15\),
\(\frac{20}{3} x — \frac{15}{3} x = 15\),
\(\frac{5}{3} x = 15\),
\(x = \frac{15 \cdot 3}{5} = 9\).

Тогда \(y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15\).

Ответ: \(\left(-2 \frac{1}{37}; 1 \frac{8}{37}\right); (9; 15)\).

2) Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} \sqrt{x^2 — 5} + \sqrt{y^2 + 5} = 7 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}\)

Из второго уравнения:
\(y^2 = 29 — x^2\).

Подставим в первое:
\(\sqrt{x^2 — 5} + \sqrt{34 — x^2} = 7\).

Возведём в квадрат обе части:
\((\sqrt{x^2 — 5} + \sqrt{34 — x^2})^2 = 49\),
\(x^2 — 5 + 34 — x^2 + 2 \sqrt{(x^2 — 5)(34 — x^2)} = 49\),
\(29 + 2 \sqrt{(x^2 — 5)(34 — x^2)} = 49\),
\(2 \sqrt{(x^2 — 5)(34 — x^2)} = 20\),
\(\sqrt{(x^2 — 5)(34 — x^2)} = 10\).

Возведём снова в квадрат:
\((x^2 — 5)(34 — x^2) = 100\),
\(34 x^2 — x^4 — 170 + 5 x^2 = 100\),
\(-x^4 + 39 x^2 — 170 = 100\),
\(x^4 — 39 x^2 + 270 = 0\).

Пусть \(z = x^2\), тогда:
\(z^2 — 39 z + 270 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 39^2 — 4 \cdot 270 = 1521 — 1080 = 441\).

Корни:
\(z_1 = \frac{39 — 21}{2} = 9\),
\(z_2 = \frac{39 + 21}{2} = 30\).

Значит:
\(x_1 = \pm 3\), \(x_2 = \pm \sqrt{30}\).

Для \(x^2 = 9\), \(y^2 = 29 — 9 = 20\),
\(y = \pm 2 \sqrt{5}\).

Для \(x^2 = 30\), \(y^2 = 29 — 30 = -1\), не существует.

Ответ: \((-3; \pm 2 \sqrt{5}); (3; \pm 2 \sqrt{5})\).

3) Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x^2 + xy — 12 y^2 = 0 \\ 2 x^2 — 3 x y + y^2 = 90 \end{cases}\)

Первое уравнение:
\(x^2 + y x — 12 y^2 = 0\).

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 + y x — 12 y^2 = 0\).

Дискриминант:
\(D = y^2 + 48 y^2 = 49 y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-y — 7 y}{2} = -4 y\),
\(x_2 = \frac{-y + 7 y}{2} = 3 y\).

Первое значение: \(x = -4 y\). Подставим во второе уравнение:
\(2 (-4 y)^2 — 3 (-4 y) y + y^2 = 90\),
\(2 \cdot 16 y^2 + 12 y^2 + y^2 = 90\),
\(32 y^2 + 12 y^2 + y^2 = 90\),
\(45 y^2 = 90\),
\(y^2 = 2\),
\(y = \pm \sqrt{2}\),
\(x = -4 y = \mp 4 \sqrt{2}\).

Второе значение: \(x = 3 y\). Подставим:
\(2 (3 y)^2 — 3 (3 y) y + y^2 = 90\),
\(2 \cdot 9 y^2 — 9 y^2 + y^2 = 90\),
\(18 y^2 — 9 y^2 + y^2 = 90\),
\(10 y^2 = 90\),
\(y^2 = 9\),
\(y = \pm 3\),
\(x = 3 y = \pm 9\).

Ответ: \((-9; -3); (9; 3); (-4 \sqrt{2}; \sqrt{2}); (4 \sqrt{2}; -\sqrt{2})\).

4) Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x + y + xy = -19 \\ xy (x + y) = -20 \end{cases}\)

Пусть \(u = x + y\), \(t = xy\).

Тогда:
\(u + t = -19\),
\(u t = -20\).

Из первого:
\(u = -19 — t\).

Подставим во второе:
\(t (-19 — t) = -20\),
\(-t^2 — 19 t = -20\),
\(t^2 + 19 t — 20 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 19^2 + 4 \cdot 20 = 361 + 80 = 441\).

Корни:
\(t_1 = \frac{-19 — 21}{2} = -20\),
\(t_2 = \frac{-19 + 21}{2} = 1\).

Тогда:
\(u_1 = -19 — (-20) = 1\),
\(u_2 = -19 — 1 = -20\).

Первое значение:
\(x + y = 1\), \(y = 1 — x\),
\(xy = -20\),
\(x (1 — x) = -20\),
\(x^2 — x — 20 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\).

Корни:
\(x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\),
\(x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\).

Тогда:
\(y_1 = 1 — (-4) = 5\),
\(y_2 = 1 — 5 = -4\).

Второе значение:
\(x + y = -20\), \(y = -20 — x\),
\(xy = 1\),
\(x (-20 — x) = 1\),
\(x^2 + 20 x + 1 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 20^2 — 4 \cdot 1 = 400 — 4 = 396\).

Корни:
\(x = \frac{-20 \pm \sqrt{396}}{2} = \frac{-20 \pm 6 \sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3 \sqrt{11}\).

Тогда:
\(y = -20 — x = -20 — (-10 \pm 3 \sqrt{11}) = -10 \mp 3 \sqrt{11}\).

Ответ:
\((-4; 5); (-10 + 3 \sqrt{11}; -10 — 3 \sqrt{11}); (5; -4); (-10 — 3 \sqrt{11}; -10 + 3 \sqrt{11})\).