ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 14 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ 3x — 2y = 7 \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 — 8} = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^2 — xy — 20 y^2 = 0 \\ x^2 + 2xy — 3 y^2 = 32 \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x — y — xy = 17 \\ xy(x — y) = -70 \end{cases}\)

1)
\(\begin{cases}
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\
3x — 2y = 7
\end{cases}\);

Пусть \(t = \frac{x}{y}\), тогда:
\(t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}\), \(3t^2 — 10t + 3 = 0\);

\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\), тогда:

\(t_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\) и \(t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3\);

Первое значение:

\(\frac{x}{y} = \frac{1}{3}\), \(y = 3x\);

\(3x — 6x = 7\);

\(3x = -7\), \(x = -2 \frac{1}{3}\);

\(y = -2 \frac{1}{3} \cdot 3 = -7\);

Второе значение:

\(\frac{x}{y} = 3\), \(x = 3y\);

\(9y — 2y = 7\);

\(7y = 7\), \(y = 1\);

\(x = 3 \cdot 1 = 3\);

Ответ: \(\left(-2 \frac{1}{3}; -7\right); (3; 1)\).

2)
\(\begin{cases}
\sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 — 8} = 6 \\
x^2 + y^2 = 20
\end{cases}\);

Второе уравнение: \(y^2 = 20 — x^2\);

Первое уравнение:

\(\sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{12 — x^2} = 6\);

\(x^2 + 8 + 2 \sqrt{(x^2 + 8)(12 — x^2)} + 12 — x^2 = 36\);

\(2 \sqrt{12x^2 — x^4 + 96 — 8x^2} = 16\), \(\sqrt{4x^2 — x^4 + 96} = 8\);

\(4x^2 — x^4 + 96 = 64\);

\(x^4 — 4x^2 — 32 = 0\);

\(D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144\), тогда:

\(x_1^2 = \frac{4 — 12}{2} = -4\) и \(x_2^2 = \frac{4 + 12}{2} = 8\);

\(x_1 \in \emptyset\) и \(x_2 = \pm 2\sqrt{2}\);

Второе уравнение:

\(y^2 = 12\), \(y = \pm 2\sqrt{3}\);

Ответ: \(\left(-2\sqrt{2}; -2\sqrt{3}\right); \left(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{3}\right); \left(2\sqrt{2}; -2\sqrt{3}\right); \left(2\sqrt{2}; 2\sqrt{3}\right)\).

3)
\(\begin{cases}
x^2 — xy — 20y^2 = 0 \\
x^2 + 2xy — 3y^2 = 32
\end{cases}\);

Первое уравнение:

\(x^2 — yx — 20y^2 = 0\);

\(D = y^2 + 4 \cdot 20y^2 = y^2 + 80y^2 = 81y^2\), тогда:

\(x_1 = \frac{y — 9y}{2} = -4y\) и \(x_2 = \frac{y + 9y}{2} = 5y\);

Первое значение:

\(16y^2 — 8y^2 — 3y^2 = 32\);

\(5y^2 = 32\), \(y^2 = \frac{32}{5}\);

\(y = \pm \frac{4\sqrt{10}}{5}\), \(x = \pm \frac{16\sqrt{10}}{5}\);

Второе значение:

\(25y^2 + 10y^2 — 3y^2 = 32\);

\(32y^2 = 32\), \(y^2 = 1\);

\(y = \pm 1\), \(x = \pm 5\);

Ответ: \((-5; -1); (5; 1); \left(-\frac{16\sqrt{10}}{5}; \frac{4\sqrt{10}}{5}\right); \left(\frac{16\sqrt{10}}{5}; -\frac{4\sqrt{10}}{5}\right)\).

4)
\(\begin{cases}
x — y — xy = 17 \\
xy(x — y) = -70
\end{cases}\);

Пусть \(u = x — y\) и \(t = xy\), тогда:

\(u — t = 17\), \(u = t + 17\), \(ut = -70\);

\(t(t + 17) = -70\);

\(t^2 + 17t + 70 = 0\);

\(D = 17^2 — 4 \cdot 70 = 289 — 280 = 9\), тогда:

\(t_1 = \frac{-17 — 3}{2} = -10\) и \(t_2 = \frac{-17 + 3}{2} = -7\);

\(u_1 = -10 + 17 = 7\) и \(u_2 = -7 + 17 = 10\);

Первое значение:

\(x — y = 7\), \(y = x — 7\);

\(xy = -10\), \(x(x — 7) = -10\);

\(x^2 — 7x + 10 = 0\);

\(D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9\), тогда:

\(x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5\);

\(y_1 = 2 — 7 = -5\) и \(y_2 = 5 — 7 = -2\);

Второе значение:

\(x — y = 10\), \(y = x — 10\);

\(xy = -7\), \(x(x — 10) = -7\);

\(x^2 — 10x + 7 = 0\);

\(D = 10^2 — 4 \cdot 7 = 100 — 28 = 72\), тогда:

\(x = \frac{10 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{10 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 3\sqrt{2}\);

\(y = 5 \pm 3\sqrt{2} — 10 = -5 \pm 3\sqrt{2}\);

Ответ: \((2; -5); (5 — 3\sqrt{2}; -5 — 3\sqrt{2}); (5; -2); (5 + 3\sqrt{2}; -5 + 3\sqrt{2})\).

1)
Дано:
\(\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ 3x — 2y = 7 \end{cases}\)

Пусть \( t = \frac{x}{y} \), тогда уравнение перепишется как:
\( t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \).

Домножим на \( t \):
\( t^2 + 1 = \frac{10}{3} t \), или
\( 3t^2 — 10t + 3 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \).

Найдем корни:
\( t_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \),
\( t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \).

Первое значение:
\( \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3x \).
Подставим во второе уравнение:
\( 3x — 2 \cdot 3x = 7 \Rightarrow 3x — 6x = 7 \Rightarrow -3x = 7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3} = -2 \frac{1}{3} \).
Тогда \( y = 3 \cdot \left(-2 \frac{1}{3}\right) = -7 \).

Второе значение:
\( \frac{x}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y \).
Подставим во второе уравнение:
\( 3 \cdot 3y — 2y = 7 \Rightarrow 9y — 2y = 7 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1 \).
Тогда \( x = 3 \cdot 1 = 3 \).

Ответ:
\(\left(-2 \frac{1}{3}; -7\right); (3; 1)\).

2)
Дано:
\(\begin{cases} \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 — 8} = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}\)

Из второго уравнения:
\( y^2 = 20 — x^2 \).

Подставим в первое уравнение:
\( \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{20 — x^2 — 8} = 6 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{12 — x^2} = 6 \).

Возведем в квадрат:
\( ( \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{12 — x^2} )^2 = 6^2 \Rightarrow \)
\( x^2 + 8 + 12 — x^2 + 2 \sqrt{(x^2 + 8)(12 — x^2)} = 36 \Rightarrow \)
\( 20 + 2 \sqrt{(x^2 + 8)(12 — x^2)} = 36 \Rightarrow \)
\( 2 \sqrt{(x^2 + 8)(12 — x^2)} = 16 \Rightarrow \)
\( \sqrt{(x^2 + 8)(12 — x^2)} = 8 \).

Возведем в квадрат еще раз:
\( (x^2 + 8)(12 — x^2) = 64 \Rightarrow \)
\( 12x^2 — x^4 + 96 — 8x^2 = 64 \Rightarrow \)
\( 4x^2 — x^4 + 96 = 64 \Rightarrow \)
\( -x^4 + 4x^2 + 32 = 0 \Rightarrow \)
\( x^4 — 4x^2 — 32 = 0 \).

Пусть \( z = x^2 \), тогда:
\( z^2 — 4z — 32 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \).

Найдем корни:
\( z_1 = \frac{4 — 12}{2} = -4 \) (не подходит, так как \( z = x^2 \geq 0 \)),
\( z_2 = \frac{4 + 12}{2} = 8 \).

Значит, \( x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2 \sqrt{2} \).

Из второго уравнения:
\( y^2 = 20 — 8 = 12 \Rightarrow y = \pm 2 \sqrt{3} \).

Ответ:
\(\left(-2 \sqrt{2}; -2 \sqrt{3}\right); \left(-2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{3}\right); \left(2 \sqrt{2}; -2 \sqrt{3}\right); \left(2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{3}\right)\).

3)
Дано:
\(\begin{cases} x^2 — xy — 20 y^2 = 0 \\ x^2 + 2xy — 3 y^2 = 32 \end{cases}\)

Рассмотрим первое уравнение:
\( x^2 — xy — 20 y^2 = 0 \).

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \( x \):
\( x^2 — y x — 20 y^2 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20 y^2) = y^2 + 80 y^2 = 81 y^2 \).

Корни:
\( x_1 = \frac{y — 9 y}{2} = -4 y \),
\( x_2 = \frac{y + 9 y}{2} = 5 y \).

Подставим \( x = -4 y \) во второе уравнение:
\( (-4 y)^2 + 2 \cdot (-4 y) \cdot y — 3 y^2 = 32 \Rightarrow \)
\( 16 y^2 — 8 y^2 — 3 y^2 = 32 \Rightarrow \)
\( 5 y^2 = 32 \Rightarrow y^2 = \frac{32}{5} \).

Тогда:
\( y = \pm \frac{4 \sqrt{10}}{5} \),
\( x = -4 y = \pm \frac{16 \sqrt{10}}{5} \).

Подставим \( x = 5 y \) во второе уравнение:
\( (5 y)^2 + 2 \cdot 5 y \cdot y — 3 y^2 = 32 \Rightarrow \)
\( 25 y^2 + 10 y^2 — 3 y^2 = 32 \Rightarrow \)
\( 32 y^2 = 32 \Rightarrow y^2 = 1 \).

Тогда:
\( y = \pm 1 \),
\( x = 5 y = \pm 5 \).

Ответ:
\((-5; -1); (5; 1); \left(-\frac{16 \sqrt{10}}{5}; \frac{4 \sqrt{10}}{5}\right); \left(\frac{16 \sqrt{10}}{5}; -\frac{4 \sqrt{10}}{5}\right)\).

4)
Дано:
\(\begin{cases} x — y — xy = 17 \\ xy(x — y) = -70 \end{cases}\)

Пусть \( u = x — y \) и \( t = xy \), тогда:
\( u — t = 17 \),
\( u t = -70 \).

Из первого уравнения:
\( u = t + 17 \).

Подставим во второе:
\( t (t + 17) = -70 \Rightarrow t^2 + 17 t + 70 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = 17^2 — 4 \cdot 70 = 289 — 280 = 9 \).

Корни:
\( t_1 = \frac{-17 — 3}{2} = -10 \),
\( t_2 = \frac{-17 + 3}{2} = -7 \).

Тогда:
\( u_1 = -10 + 17 = 7 \),
\( u_2 = -7 + 17 = 10 \).

Первое значение:
\( x — y = 7 \Rightarrow y = x — 7 \),
\( xy = -10 \Rightarrow x(x — 7) = -10 \Rightarrow x^2 — 7 x + 10 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \).

Корни:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \),
\( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \).

Тогда:
\( y_1 = 2 — 7 = -5 \),
\( y_2 = 5 — 7 = -2 \).

Второе значение:
\( x — y = 10 \Rightarrow y = x — 10 \),
\( xy = -7 \Rightarrow x(x — 10) = -7 \Rightarrow x^2 — 10 x + 7 = 0 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = 10^2 — 4 \cdot 7 = 100 — 28 = 72 \).

Корни:
\( x = \frac{10 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{10 \pm 6 \sqrt{2}}{2} = 5 \pm 3 \sqrt{2} \).

Тогда:
\( y = x — 10 = 5 \pm 3 \sqrt{2} — 10 = -5 \pm 3 \sqrt{2} \).

Ответ:
\((2; -5); (5 — 3 \sqrt{2}; -5 — 3 \sqrt{2}); (5; -2); (5 + 3 \sqrt{2}; -5 + 3 \sqrt{2})\).