ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 15 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график неравенства:
1) \( y \leq -x^2 + 4x — 3 \);
2) \( xy > 4 \);
3) \( (x — 3y + 2)(x + y — 3) < 0 \);
4) \( \frac{y — 2x^2}{|y — 2|} < 0 \).

1) \( y \leq -x^2 + 4x — 3; \)
\( x_0 = \frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = 2; \)
\( y_0 = -4 + 8 — 3 = 1; \)
График неравенства:

2) \( xy > 4; \)
Если \( x > 0, \) тогда:
\( xy > 4, \quad y > \frac{4}{x}; \)
Если \( x < 0, \) тогда:
\( xy > 4, \quad y < \frac{4}{x}; \)
График неравенства:

3) \( (x — 3y + 2)(x + y — 3) < 0; \)
Первое неравенство:
\( x — 3y + 2 > 0; \)
\( 3y < x + 2; \)
\( y < \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}; \)
Второе неравенство:
\( x + y — 3 > 0; \)
\( y > 3 — x; \)
График неравенства:

4) \( \frac{y — 2x^2}{|y — 2|} < 0; \)
\( y — 2x^2 < 0, \quad y < 2x^2; \)
\( y — 2 \neq 0, \quad y \neq 2; \)
График неравенства:

1) Рассмотрим неравенство \( y \leq -x^2 + 4x — 3 \).

Найдём вершину параболы. Координата вершины по оси \( x \) вычисляется по формуле \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 4 \). Тогда
\( x_0 = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2 \).

Подставим \( x_0 = 2 \) в выражение для функции:
\( y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 — 3 = -4 + 8 — 3 = 1 \).

Парабола направлена вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный. Область решения неравенства — это область, лежащая ниже или на графике параболы \( y = -x^2 + 4x — 3 \).

2) Рассмотрим неравенство \( xy > 4 \).

Если \( x > 0 \), то можно разделить обе части неравенства на \( x \) без изменения знака:
\( y > \frac{4}{x} \).

Если \( x < 0 \), при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\( y < \frac{4}{x} \).

График решения — области над гиперболой \( y = \frac{4}{x} \) при \( x > 0 \) и под гиперболой при \( x < 0 \).

3) Рассмотрим неравенство \( (x — 3y + 2)(x + y — 3) < 0 \).

Произведение двух выражений меньше нуля, значит одно из них положительно, а другое отрицательно.

Первое неравенство:
\( x — 3y + 2 > 0 \).
Выразим \( y \):
\( -3y > -x — 2 \Rightarrow y < \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \).

Второе неравенство:
\( x + y — 3 > 0 \).
Выразим \( y \):
\( y > 3 — x \).

Область решения — пересечение областей, где выполняется одно из неравенств, а другое — противоположное, то есть точек, где \( y < \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \) и \( y > 3 — x \).

4) Рассмотрим неравенство \( \frac{y — 2x^2}{|y — 2|} < 0 \).

Знаменатель \( |y — 2| \) всегда положителен, кроме точки \( y = 2 \), где выражение не определено.

Неравенство эквивалентно:
\( y — 2x^2 < 0 \), то есть \( y < 2x^2 \),
и при этом \( y \neq 2 \).

Область решения — множество точек под параболой \( y = 2x^2 \), исключая линию \( y = 2 \).