ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 15 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график неравенства:
1) \( y  x^2 + x — 2 \);
2) \( xy < 6 \);
3) \( (2x + y + 1)(x — y + 3) > 0 \);
4) \( \frac{y + \frac{1}{2} x^2}{|y + 2|} > 0 \).

1) \( y \geq x^2 + x — 2; \)
\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5; \)
\( y_0 = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} — 2 = -2 \frac{1}{4}; \)
График неравенства:

2) \( xy < 6; \)
Если \( x > 0 \), тогда:
\( xy < 6, \quad y \leq \frac{6}{x}; \)
Если \( x < 0 \), тогда:
\( xy < 6, \quad y > \frac{6}{x}; \)
График неравенства:

3) \( (2x + y + 1)(x — y + 3) > 0; \)
Первое неравенство:
\( 2x + y + 1 > 0; \)
\( y > -2x — 1; \)
Второе неравенство:
\( x — y + 3 > 0; \)
\( y < x + 3; \)
График неравенства:

4) \( \frac{y + \frac{1}{2} x^2}{|y + 2|} > 0; \)
\( y + \frac{1}{2} x^2 > 0, \quad y > -\frac{x^2}{2}; \)
\( y + 2 \neq 0, \quad y \neq -2; \)
График неравенства:

1) Рассмотрим неравенство \( y \geq x^2 + x — 2 \).

Найдём координаты вершины параболы \( y = x^2 + x — 2 \). Координата вершины по оси \( x \) вычисляется как \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 1 \). Следовательно,
\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} = -0,5 \).

Подставим \( x_0 \) в уравнение параболы, чтобы найти \( y_0 \):
\( y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) — 2 = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} — 2 = -2 \frac{1}{4} \).

График неравенства — это область, включающая все точки, где \( y \) выше или равно параболе \( y = x^2 + x — 2 \), включая саму параболу.

2) Рассмотрим неравенство \( xy < 6 \).

Если \( x > 0 \), то можно поделить обе части неравенства на \( x \), не меняя знака:
\( y < \frac{6}{x} \).

Если \( x < 0 \), то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\( y > \frac{6}{x} \).

При \( x = 0 \) неравенство не определено, так как деление на ноль невозможно.

График неравенства — это объединение двух областей: для \( x > 0 \), область под гиперболой \( y = \frac{6}{x} \); для \( x < 0 \), область над гиперболой \( y = \frac{6}{x} \).

3) Рассмотрим неравенство \( (2x + y + 1)(x — y + 3) > 0 \).

Произведение двух выражений положительно, если оба положительны или оба отрицательны.

Рассмотрим первое неравенство:
\( 2x + y + 1 > 0 \), откуда
\( y > -2x — 1 \).

Рассмотрим второе неравенство:
\( x — y + 3 > 0 \), откуда
\( y < x + 3 \).

Следовательно, область решения — это пересечение областей, где выполняются оба условия одновременно:
\( y > -2x — 1 \) и \( y < x + 3 \).

График неравенства — это область между двумя прямыми \( y = -2x — 1 \) и \( y = x + 3 \).

4) Рассмотрим неравенство
\( \frac{y + \frac{1}{2} x^2}{|y + 2|} > 0 \).

Знаменатель \( |y + 2| \) всегда положителен, кроме точки \( y = -2 \), где он равен нулю, и деление невозможно. Значит, знак дроби определяется знаком числителя.

Числитель:
\( y + \frac{1}{2} x^2 > 0 \), откуда
\( y > -\frac{x^2}{2} \).

Условие \( y + 2 \neq 0 \), то есть \( y \neq -2 \), исключает точку, где дробь не определена.

График неравенства — это область над параболой \( y = -\frac{x^2}{2} \), исключая линию \( y = -2 \).