ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 15 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график неравенства:
1) \( y \leq -x^2 + x + 6 \);
2) \( xy > 8 \);
3) \( (3x — y — 2)(x + y — 4) < 0 \);
4) \( \frac{y — \frac{1}{2} x^2}{|y — 2|} < 0 \).

1) \( y \leq -x^2 + x + 6; \)
\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} = 0,5; \)
\( y_0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = 6,25; \)
График неравенства:

2) \( xy > 8; \)
Если \( x > 0 \), тогда:
\( xy > 8, \quad y > \frac{8}{x}; \)
Если \( x < 0 \), тогда:
\( xy > 8, \quad y \leq \frac{8}{x}; \)
График неравенства:

3) \( (3x — y — 2)(x + y — 4) < 0; \)
Первое неравенство:
\( 3x — y — 2 > 0; \)
\( y < 3x — 2; \)
Второе неравенство:
\( x + y — 4 > 0; \)
\( y > 4 — x; \)
График неравенства:

4) \( \frac{y — \frac{1}{2} x^2}{|y — 2|} < 0; \)
\( y — \frac{1}{2} x^2 < 0, \quad y < \frac{1}{2} x^2; \)
\( y — 2 \neq 0, \quad y \neq 2; \)
График неравенства:

1) Рассмотрим неравенство \( y \leq -x^2 + x + 6 \). Это парабола с ветвями вниз. Найдём координаты вершины параболы. Координата \( x \) вершины вычисляется по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 1 \). Тогда
\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} = 0,5 \).
Подставим \( x_0 \) в уравнение, чтобы найти \( y_0 \):
\( y_0 = — (0,5)^2 + 0,5 + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = 6,25 \).
График неравенства — это область под параболой, включая её.

2) Неравенство \( xy > 8 \) разбиваем на два случая.
Если \( x > 0 \), то делим обе части на \( x \) (положительное число), знак не меняется:
\( y > \frac{8}{x} \).
Если \( x < 0 \), то при делении на отрицательное число знак меняется:
\( y < \frac{8}{x} \).
График неравенства состоит из двух областей: выше гиперболы \( y = \frac{8}{x} \) при \( x > 0 \) и ниже гиперболы при \( x < 0 \).

3) Неравенство \( (3x — y — 2)(x + y — 4) < 0 \) означает, что произведение двух выражений отрицательно, то есть знаки множителей противоположны.
Рассмотрим первое неравенство:
\( 3x — y — 2 > 0 \Rightarrow y < 3x — 2 \).
Второе неравенство:
\( x + y — 4 > 0 \Rightarrow y > 4 — x \).
Область решения — точки, где выполняется одно из этих неравенств, но не оба одновременно. Значит, либо
\( y < 3x — 2 \) и \( y > 4 — x \), либо
\( y > 3x — 2 \) и \( y < 4 — x \).
График — две области между прямыми.

4) Рассмотрим неравенство
\( \frac{y — \frac{1}{2} x^2}{|y — 2|} < 0 \).
Знаменатель \( |y — 2| > 0 \) при \( y \neq 2 \), поэтому знак дроби определяется знаком числителя.
Числитель меньше нуля:
\( y — \frac{1}{2} x^2 < 0 \Rightarrow y < \frac{1}{2} x^2 \).
Условие \( y \neq 2 \) исключает точку разрыва.
График — область под параболой \( y = \frac{1}{2} x^2 \), исключая линию \( y = 2 \).