ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 16 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств \(\{x^2 + y^2 \leq 5, \quad xy < 2\}\).

2. Изобразите график неравенств:
1) \(|x — 2y| < 4;\)
2) \(\sqrt{2x + y} < \sqrt{3x — y — 1}.\)

3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \(\max\{3x, 2\} = y + 1.\)

1.
\(\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 5; \\ xy < 2 \end{cases}\)
Первое неравенство:
\(x_0 = y_0 = 0, \quad R = \sqrt{5};\)
Второе неравенство:
\[
\begin{cases}
x < 0, \quad y > \frac{2}{x}; \\
x > 0, \quad y < \frac{2}{x};
\end{cases}
\]
График неравенства:

2. График неравенства:
1) \(|x — 2y| < 4;\)
\(-4 < x — 2y < 4;\)
\(-x — 4 < -2y < -x + 4;\)
\(\frac{1}{2}x — 2 < y < \frac{1}{2}x + 2;\)

2) \(\sqrt{2x + y} < \sqrt{3x — y — 1};\)
\(2x + y < 3x — y — 1;\)
\(2y < x — 1, \quad y < \frac{1}{2}x — \frac{1}{2};\)
Область определения:
\(2x + y \geq 0, \quad y \geq -2x;\)

3. \(\max\{3x, 2\} = y + 1;\)
Первое уравнение:
\(3x = y + 1;\)
\(y = 3x — 1;\)
Второе уравнение:
\(2 = y + 1, \quad y = 1;\)
График уравнения:

1. Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 5; \\ xy < 2 \end{cases}\)

Первое неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом \(R = \sqrt{5}\), так как \(x_0 = y_0 = 0\), а радиус круга определяется из условия \(x^2 + y^2 \leq 5\).

Второе неравенство \(xy < 2\) можно проанализировать по знакам \(x\) и \(y\). Для \(x < 0\) и \(y > \frac{2}{x}\) произведение \(xy < 2\) выполняется, а для \(x > 0\) и \(y < \frac{2}{x}\) также верно. Таким образом,
\[
\begin{cases}
x < 0, \quad y > \frac{2}{x}; \\
x > 0, \quad y < \frac{2}{x}.
\end{cases}
\]

График неравенств — это пересечение круга с областью, ограниченной гиперболой \(xy = 2\), где учитываются указанные области по знакам.

2. Рассмотрим два неравенства:

1) \(|x — 2y| < 4\) эквивалентно двойному неравенству:
\(-4 < x — 2y < 4.\)
Перепишем его:
\(-4 < x — 2y\) и \(x — 2y < 4.\)
Переносим \(x\) в правую часть:
\(-x — 4 < -2y < -x + 4.\)
Делим на \(-2\) (при этом знак неравенства меняется):
\(\frac{1}{2}x — 2 < y < \frac{1}{2}x + 2.\)
Это область между двумя параллельными прямыми с угловым коэффициентом \(\frac{1}{2}\).

2) \(\sqrt{2x + y} < \sqrt{3x — y — 1}\)
Чтобы сравнить подкоренные выражения, возведём обе части в квадрат (учитывая область определения):
\(2x + y < 3x — y — 1.\)
Переносим слагаемые:
\(2y < x — 1.\)
Делим на 2:
\(y < \frac{1}{2}x — \frac{1}{2}.\) ,

Область определения требует:
\(2x + y \geq 0\) и \(y \geq -2x.\)
Таким образом, область решения ограничена сверху прямой \(y = \frac{1}{2}x — \frac{1}{2}\) и снизу двумя условиями \(2x + y \geq 0\) и \(y \geq -2x.\)

3. Рассмотрим уравнение:
\(\max\{3x, 2\} = y + 1.\)

Рассмотрим два случая:
Первое уравнение, когда \(3x \geq 2\), тогда \(\max\{3x, 2\} = 3x\), и уравнение принимает вид:
\(3x = y + 1.\)
Отсюда
\(y = 3x — 1.\)

Второе уравнение, когда \(2 \geq 3x\), тогда \(\max\{3x, 2\} = 2\), и уравнение:
\(2 = y + 1.\)
Отсюда
\(y = 1.\)

График уравнения состоит из двух частей: линейной функции \(y = 3x — 1\) при \(x \geq \frac{2}{3}\) и горизонтальной линии \(y = 1\) при \(x \leq \frac{2}{3}\).