ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 16 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств \(x^2 + y^2 > 10, \quad xy  3\).

2. Изобразите график неравенства:
1) \(|2x — y| > 1\);
2) \(\sqrt{3x — y + 2} < \sqrt{2x + y}\).

3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \(\min(2y, 3) = x — 2\).

1. \(\begin{cases} x^2 + y^2 > 10, \\ xy \leq 3 \end{cases}\);

Первое неравенство:
\(x_0 = y_0 = 0, \quad R = \sqrt{10};\)

Второе неравенство:
\[
\begin{cases}
x < 0, \quad y \geq \frac{3}{x}; \\
x > 0, \quad y \leq \frac{3}{x};
\end{cases}
\]

График неравенства:

2. График неравенства:
1) \(|2x — y| > 1;\)
\[
\begin{cases}
2x — y < -1, \quad y > 2x + 1; \\
2x — y > 1, \quad y < 2x — 1;
\end{cases}
\]

2) \(\sqrt{3x — y + 2} < \sqrt{2x + y};\)
\[
3x — y + 2 < 2x + y;
\]
\[
2y > x + 2, \quad y > \frac{1}{2}x + 1;
\]

Область определения:
\[
3x — y + 2 \geq 0, \quad y \leq 3x + 2;
\]

3. \(\min\{2y, 3\} = x — 2;\)

Первое уравнение:
\[
2y = x — 2;
\]
\[
y = \frac{x}{2} — 1;
\]

Второе уравнение:
\[
3 = x — 2, \quad x = 5;
\]

График уравнения:

1. Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 > 10, \\ xy \leq 3 \end{cases}\).

Первое неравенство описывает множество точек вне круга с центром в начале координат и радиусом \(R = \sqrt{10}\). Центр круга: \(x_0 = 0, y_0 = 0\). Таким образом, все точки, для которых \(x^2 + y^2 > 10\), лежат вне круга радиуса \(\sqrt{10}\).

Второе неравенство:
\[
\begin{cases}
x < 0, \quad y \geq \frac{3}{x}; \\
x > 0, \quad y \leq \frac{3}{x}.
\end{cases}
\]
Это неравенство ограничивает область в зависимости от знака \(x\). При \(x < 0\) значения \(y\) должны быть больше либо равны \(\frac{3}{x}\), а при \(x > 0\) — меньше либо равны \(\frac{3}{x}\).

Графически область решения — это пересечение множества точек вне круга и удовлетворяющих условию по \(y\), заданному вторым неравенством.

2) \(\sqrt{3x — y + 2} < \sqrt{2x + y}\).
Для определения области определения подкоренных выражений должны выполняться условия:
\(3x — y + 2 \geq 0\) и \(2x + y \geq 0\).

Возведём обе части в квадрат, так как обе части неотрицательны:
\(3x — y + 2 < 2x + y\), откуда
\(3x — y + 2 — 2x — y < 0\),
то есть
\(x — 2y + 2 < 0\),
или
\(2y > x + 2\).

Из области определения:
\(3x — y + 2 \geq 0\) означает \(y \leq 3x + 2\).

Также из \(2x + y \geq 0\) следует \(y \geq -2x\), что не ограничивает дополнительно область, так как \(y \leq 3x + 2\) более строго.

Итог:
\[
\begin{cases}
2y > x + 2, \\
y \leq 3x + 2.
\end{cases}
\]

3. Решим уравнение \(\min\{2y, 3\} = x — 2\).

Первое уравнение возникает, когда \(2y \leq 3\), тогда
\(2y = x — 2\), откуда
\(y = \frac{x}{2} — 1\).

Второе уравнение — когда \(3 \leq 2y\), тогда
\(3 = x — 2\), откуда
\(x = 5\).

График уравнения состоит из двух частей:
прямая \(y = \frac{x}{2} — 1\) при \(x \leq 5\) и вертикальная линия \(x = 5\) при \(y \geq \frac{3}{2}\).