ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 16 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств \(\{x^2 + y^2 \geq 5, \quad xy > -2\}\).

2. Изобразите график неравенства:
1) \(|x + 3y| < 2\);
2) \(\sqrt{x + 3y} < \sqrt{x — 2y + 2}\).

3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \(\max[-2x, 1] = y + 3\).

1.
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 5; \\
xy > -2
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(x_0 = y_0 = 0, \quad R = \sqrt{5};\)

Второе неравенство:
\(x > 0, \quad y > -\frac{2}{x};\)
\(x < 0, \quad y < -\frac{2}{x};\)

График неравенства:

2. График неравенства:
1) \(|x + 3y| < 2;\)
\(-2 < x + 3y < 2;\)
\(-x — 2 < 3y < -x + 2;\)
\(-\frac{1}{3}x — \frac{2}{3} < y < -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3};\)

2) \(\sqrt{x + 3y} < \sqrt{x — 2y + 2};\)
\(x + 3y < x — 2y + 2;\)
\(5y < 2, \quad y < 0{,}4;\)

Область определения:
\(x + 3y \geq 0, \quad y \geq -\frac{1}{3}x;\)

3. \(\max\{-2x, 1\} = y + 3;\)

Первое уравнение:
\(-2x = y + 3;\)
\(y = -2x — 3;\)

Второе уравнение:
\(1 = y + 3, \quad y = -2;\)

График уравнения:

1.
Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 5; \\
xy > -2
\end{cases}\)

Первое неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом \(R = \sqrt{5}\), так как \(x_0 = 0, y_0 = 0\), и неравенство описывает все точки внутри и на окружности \(x^2 + y^2 = 5\).

Второе неравенство \(xy > -2\) разбивается на два случая:
— если \(x > 0\), тогда \(y > -\frac{2}{x}\);
— если \(x < 0\), тогда \(y < -\frac{2}{x}\).

Это означает, что график второго неравенства — это области, расположенные выше гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) при \(x > 0\) и ниже этой гиперболы при \(x < 0\).

График неравенства — пересечение круга и указанных областей.

2.
График неравенства:

1) Рассмотрим неравенство \(|x + 3y| < 2\). Это эквивалентно двойному неравенству:
\(-2 < x + 3y < 2\).

Разобьём на два неравенства:
\(-2 < x + 3y\) и \(x + 3y < 2\).

Перепишем их в виде неравенств для \(y\):
\(-2 < x + 3y \Rightarrow -x — 2 < 3y \Rightarrow -\frac{1}{3}x — \frac{2}{3} < y\),
\(x + 3y < 2 \Rightarrow 3y < -x + 2 \Rightarrow y < -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\).

Таким образом,
\(-\frac{1}{3}x — \frac{2}{3} < y < -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\).

Область — полоса между двумя прямыми.

2) Рассмотрим неравенство \(\sqrt{x + 3y} < \sqrt{x — 2y + 2}\).

Для определения области определения подкоренных выражений должны быть неотрицательны:
\(x + 3y \geq 0\),
\(x — 2y + 2 \geq 0\).

Из неравенства \(\sqrt{x + 3y} < \sqrt{x — 2y + 2}\) следует:
\(x + 3y < x — 2y + 2\),
\(5y < 2\),
\(y < 0{,}4\).

Область определения:
\(x + 3y \geq 0\),
\(y \geq -\frac{1}{3}x\).

График — область, удовлетворяющая этим условиям.

3.
Рассмотрим уравнение \(\max\{-2x, 1\} = y + 3\).

Максимум двух величин равен \(y + 3\), значит либо \(-2x = y + 3\), либо \(1 = y + 3\).

Первое уравнение:
\(-2x = y + 3\),
\(y = -2x — 3\).

Второе уравнение:
\(1 = y + 3\),
\(y = -2\).

Таким образом, график уравнения состоит из двух частей:
— прямая \(y = -2x — 3\),
— горизонтальная прямая \(y = -2\).

График — ломаная, состоящая из этих двух линий, где \(y + 3\) равен максимуму \(-2x\) и 1.