ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 16 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенства \(\{x^2 + y^2 > 13, \quad xy \leq 6\}\).

2. Изобразите график неравенства:
1) \(|x + 3y| > 3\);
2) \(\sqrt{x — 2y + 3} < \sqrt{x + 3y}\).

3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \(\min(-3y, 2) = x — 4\).

1.
\(\left\{\begin{array}{l}
x^2 + y^2 > 13; \\
xy \leq 6
\end{array}\right.\)

Первое неравенство:
\(x_0 = y_0 = 0, \quad R = \sqrt{13};\)

Второе неравенство:
\(x > 0, \quad y \leq \frac{6}{x};\)
\(x < 0, \quad y \geq \frac{6}{x};\)

График неравенства:

2. График неравенства:
1) \(|x + 3y| > 3;\)

\(x + 3y < -3, \quad y < -\frac{1}{3}x — 1;\)
\(x + 3y > 3, \quad y > -\frac{1}{3}x + 1;\)

2) \(\sqrt{x — 2y + 3} < \sqrt{x + 3y};\)
\(x — 2y + 3 < x + 3y;\)
\(5y > 3, \quad y > 0{,}6;\)

Область определения:
\(x — 2y + 3 \geq 0, \quad y \leq \frac{1}{2}x + \frac{3}{2};\)

3.
\(\min\{-3y, 2\} = x — 4;\)

Первое уравнение:
\(-3y = x — 4;\)
\(y = \frac{4}{3} — \frac{1}{3}x;\)

Второе уравнение:
\(2 = x — 4, \quad x = 6;\)

График уравнения:

1. Рассмотрим систему неравенств:
\(\left\{\begin{array}{l}
x^2 + y^2 > 13; \\
xy \leq 6
\end{array}\right.\)

Первое неравенство — это область вне окружности с центром в начале координат и радиусом \(R = \sqrt{13}\). Точки, удовлетворяющие \(x^2 + y^2 > 13\), лежат вне круга, а точки с \(x^2 + y^2 = 13\) — на окружности. Центр окружности \(x_0 = 0, y_0 = 0\).

Второе неравенство \(xy \leq 6\) можно разбить на две части в зависимости от знака \(x\):

— При \(x > 0\), из неравенства следует \(y \leq \frac{6}{x}\). График функции \(y = \frac{6}{x}\) — гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях.
— При \(x < 0\), из условия \(xy \leq 6\) получается \(y \geq \frac{6}{x}\).

Область решения — пересечение двух областей: точек вне окружности и точек, удовлетворяющих \(xy \leq 6\). На графике это область вне круга, ограниченная гиперболой сверху справа и снизу слева.

2. Рассмотрим два неравенства.

1) \(|x + 3y| > 3\)

Распишем абсолютное значение:
\(|x + 3y| > 3 \Longleftrightarrow x + 3y > 3 \quad \text{или} \quad x + 3y < -3\).

Это две полосы, ограниченные прямыми:
\(x + 3y = 3\) и \(x + 3y = -3\).

Перепишем неравенства для \(y\):
— Если \(x + 3y < -3\), то \(3y < -3 — x\), откуда \(y < -\frac{1}{3}x — 1\).
— Если \(x + 3y > 3\), то \(3y > 3 — x\), откуда \(y > -\frac{1}{3}x + 1\).

Область решения — объединение двух полуплоскостей, лежащих вне полосы между этими прямыми.

2) \(\sqrt{x — 2y + 3} < \sqrt{x + 3y}\)

Для сравнения подкоренных выражений необходимо, чтобы обе части были определены:
\(x — 2y + 3 \geq 0\) и \(x + 3y \geq 0\).

Возведём обе части в квадрат (так как обе неотрицательны):
\(x — 2y + 3 < x + 3y\).

Упростим:
\(-2y + 3 < 3y\), откуда \(5y > 3\), то есть \(y > \frac{3}{5} = 0{,}6\).

Область определения:
\(x — 2y + 3 \geq 0 \Rightarrow y \leq \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\).

Итого область решения:
\(y > 0{,}6\) и \(y \leq \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\).

3. Решим уравнение:
\(\min\{-3y, 2\} = x — 4\).

Минимум двух чисел равен \(x — 4\). Значит, либо \(-3y = x — 4\), либо \(2 = x — 4\), при этом \(-3y \leq 2\).

Первое уравнение:
\(-3y = x — 4\), откуда \(y = \frac{4}{3} — \frac{1}{3}x\).

Второе уравнение:
\(2 = x — 4\), откуда \(x = 6\).

График уравнения состоит из двух частей: прямой \(y = \frac{4}{3} — \frac{1}{3}x\) и вертикальной линии \(x = 6\), где функция принимает значение 2.