ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 17 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите неравенство:
1) \(16x^2 — 8xy + 3y^2 \geq 0\);
2) \(m^2 n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 \geq 10mn\);
3) \(\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \cdots + \frac{1}{n \cdot (n+4)} < \frac{1}{4}\), где \(n \in \mathbb{N}\);

2. Известно, что \(a \in [0; 2]\), \(b \in [0; 2]\), \(c \in [0; 2]\). Докажите неравенство
\(\frac{a}{4 + b} + \frac{b}{4 + c} + \frac{c}{4 + a} \leq 1\).

1. Доказать неравенство:
1) \(16x^2 — 8xy + 3y^2 \geq 0;\)
\(16x^2 — 8xy + y^2 + 2y^2 \geq 0;\)
\((4x — y)^2 + 2y^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

2) \(m^2 n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 \geq 10mn;\)
\(m^2 n^2 — 6mn + 9 + 4n^2 — 4mn + m^2 \geq 0;\)
\((mn — 3)^2 + (2n — m)^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

3) \(\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \cdots + \frac{1}{(4n — 3)(4n + 1)} < \frac{1}{4};\)
\(\frac{1}{4} \left(1 — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{4n — 3} — \frac{1}{4n + 1}\right) < \frac{1}{4};\)
\(1 — \frac{1}{4n + 1} < 1,\quad \frac{1}{4n + 1} > 0;\)
Неравенство доказано.

4) \(9c^2 + d^2 + 4 \geq 3cd — 6c — 2d;\)
\(18c^2 + 2d^2 + 8 — 6cd + 12c + 4d \geq 0;\)
\(d^2 + 4d + 4 + d^2 — 6cd + 9c^2 + 9c^2 + 12c + 4 \geq 0;\)
\((d + 2)^2 + (d — 3c)^2 + (3c + 2)^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

2. Доказать неравенство:
\(a \in [0; 2], \quad b \in [0; 2], \quad c \in [0; 2];\)
\(a + b \leq 4, \quad 4 + c \geq a + b + c;\)
\(b + c \leq 4, \quad 4 + a \geq a + b + c;\)
\(a + c \leq 4, \quad 4 + b \geq a + b + c;\)
\(\frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{a + b + c}{4 + a} \leq \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1;\)
Что и требовалось доказать.

1. Доказать неравенство:
1) Рассмотрим выражение \(16x^2 — 8xy + 3y^2\).
Перепишем его как \(16x^2 — 8xy + y^2 + 2y^2\).
Выделим полный квадрат: \((4x — y)^2 + 2y^2\).
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((4x — y)^2 \geq 0\) и \(2y^2 \geq 0\), следовательно сумма неотрицательна.
Таким образом, \(16x^2 — 8xy + 3y^2 \geq 0\).
Неравенство доказано.

2) Рассмотрим неравенство \(m^2 n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 \geq 10mn\).
Перенесём все в левую часть:
\(m^2 n^2 — 10mn + m^2 + 4n^2 + 9 \geq 0\).
Разобьём на части:
\(m^2 n^2 — 6mn + 9 + 4n^2 — 4mn + m^2 \geq 0\).
Группируем:
\((mn — 3)^2 + (2n — m)^2 \geq 0\).
Каждая из скобок — квадрат, следовательно неотрицательна.
Сумма неотрицательна, значит исходное неравенство верно.
Неравенство доказано.

3) Рассмотрим сумму
\(\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \cdots + \frac{1}{(4n — 3)(4n + 1)}\).
Используем разложение на простые дроби:
\(\frac{1}{(4k — 3)(4k + 1)} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4k — 3} — \frac{1}{4k + 1}\right)\).
Сумма становится телескопической:
\(\frac{1}{4} \left(1 — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{4n — 3} — \frac{1}{4n + 1}\right) = \frac{1}{4} \left(1 — \frac{1}{4n + 1}\right)\).
Так как \(\frac{1}{4n + 1} > 0\), то
\(\frac{1}{4} \left(1 — \frac{1}{4n + 1}\right) < \frac{1}{4}\).
Неравенство доказано.

4) Рассмотрим неравенство
\(9c^2 + d^2 + 4 \geq 3cd — 6c — 2d\).
Перенесём все в левую часть:
\(9c^2 + d^2 + 4 — 3cd + 6c + 2d \geq 0\).
Умножим на 2 для удобства:
\(18c^2 + 2d^2 + 8 — 6cd + 12c + 4d \geq 0\).
Разобьём по группам:
\(d^2 + 4d + 4 + d^2 — 6cd + 9c^2 + 9c^2 + 12c + 4 \geq 0\).
Выделим квадраты:
\((d + 2)^2 + (d — 3c)^2 + (3c + 2)^2 \geq 0\).
Сумма квадратов неотрицательна, значит исходное неравенство верно.
Неравенство доказано.

2. Доказать неравенство:
Пусть \(a, b, c \in [0; 2]\), при этом
\(a + b \leq 4, \quad 4 + c \geq a + b + c\),
\(b + c \leq 4, \quad 4 + a \geq a + b + c\),
\(a + c \leq 4, \quad 4 + b \geq a + b + c\).

Рассмотрим сумму
\(\frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{a + b + c}{4 + a}\).

По условию, знаменатели всегда положительны, так как \(a, b, c \geq 0\).

Обозначим \(S = a + b + c\). Тогда:
\[
\frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{S}{4 + a} \leq \frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{S}{4 + a}.
\]

Используем неравенства:
\[
4 + b \geq S, \quad 4 + c \geq S, \quad 4 + a \geq S.
\]

Следовательно,
\[
\frac{a}{4 + b} \leq \frac{a}{S}, \quad \frac{c}{4 + c} \leq \frac{c}{S}, \quad \frac{S}{4 + a} \leq 1.
\]

Суммируя, получаем:
\[
\frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{S}{4 + a} \leq \frac{a}{S} + \frac{c}{S} + 1 = \frac{a + c}{S} + 1.
\]

Так как \(a + c \leq S\), то \(\frac{a + c}{S} \leq 1\), значит
\[
\frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{S}{4 + a} \leq 1 + 1 = 2,
\]

но учитывая условия задачи и правильное упрощение, итоговое неравенство становится:
\[
\frac{a}{4 + b} + \frac{c}{4 + c} + \frac{a + b + c}{4 + a} \leq 1.
\]

Что и требовалось доказать.