ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 17 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите неравенство:
1) \(25x^2 — 10xy + 2y^2 \geq 0;\)
2) \(c^2 d^2 + c^2 + 4d^2 + 16 \geq 12cd;\)
3) \(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n \cdot (n+2)} < \frac{1}{2},\) где \(n \in \mathbb{N};\)
4) \(9c^2 + 4d^2 + 1 \geq 6cd — 3c — 2d.\)

2. Известно, что \(a \in [0; 4],\) \(b \in [0; 4],\) \(c \in [0; 4].\) Докажите неравенство
\(\frac{a}{8 + b} + \frac{b}{8 + c} + \frac{c}{8 + a} \leq 1.\)

1. Доказать неравенство:

1) \(25x^2 — 10xy + 2y^2 \geq 0;\)
\(25x^2 — 10xy + y^2 + y^2 \geq 0;\)
\((5x — y)^2 + y^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

2) \(c^2 d^2 + c^2 + 4d^2 + 16 \geq 12cd;\)
\(c^2 d^2 — 8cd + 16 + 4d^2 — 4cd + c^2 \geq 0;\)
\((cd — 4)^2 + (2d — c)^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

3) \(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} < \frac{1}{2};\)
\(\frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1}\right) < \frac{1}{2};\)
\(1 — \frac{1}{2n+1} < 1, \quad \frac{1}{2n+1} > 0;\)
Неравенство доказано.

4) \(9c^2 + 4d^2 + 1 \geq 6cd — 3c — 2d;\)
\(18c^2 + 8d^2 + 2 — 12cd + 6c + 4d \geq 0;\)
\(9c^2 + 6c + 1 + 9c^2 — 12cd + 4d^2 + 4d^2 + 4d + 1 \geq 0;\)
\((3c + 1)^2 + (3c — 2d)^2 + (2d + 1)^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

2. Доказать неравенство:

\(a \in [0; 4], \quad b \in [0; 4], \quad c \in [0; 4];\)
\(a + b \leq 8, \quad 8 + c \geq a + b + c;\)
\(b + c \leq 8, \quad 8 + a \geq a + b + c;\)
\(a + c \leq 8, \quad 8 + b \geq a + b + c;\)
\(\frac{a}{8 + b} + \frac{b}{8 + c} + \frac{c}{8 + a} \leq \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1;\)
Что и требовалось доказать.

1. Доказать неравенство:

1) Рассмотрим выражение \(25x^2 — 10xy + 2y^2\). Его можно переписать как
\(25x^2 — 10xy + y^2 + y^2\), что равно
\((5x — y)^2 + y^2\). Поскольку квадрат любого числа неотрицателен,
то \((5x — y)^2 \geq 0\) и \(y^2 \geq 0\). Следовательно,
\((5x — y)^2 + y^2 \geq 0\). Неравенство доказано.

2) Рассмотрим неравенство \(c^2 d^2 + c^2 + 4d^2 + 16 \geq 12cd\). Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(c^2 d^2 — 8cd + 16 + 4d^2 — 4cd + c^2 \geq 0\). Группируем слагаемые:
\((cd — 4)^2 + (2d — c)^2 \geq 0\). Поскольку квадраты любых чисел неотрицательны, неравенство доказано.

3) Рассмотрим сумму
\(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\).
Каждое слагаемое можно представить как разность дробей:
\(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} — \frac{1}{2k+1}\right)\). Тогда сумма равна
\(\frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{2n+1}\right)\).
Так как \(1 — \frac{1}{2n+1} < 1\) и \(\frac{1}{2n+1} > 0\), то
\(\frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{2n+1}\right) < \frac{1}{2}\). Неравенство доказано.

4) Рассмотрим неравенство
\(9c^2 + 4d^2 + 1 \geq 6cd — 3c — 2d\). Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(9c^2 + 4d^2 + 1 — 6cd + 3c + 2d \geq 0\). Умножим на 2 для удобства:
\(18c^2 + 8d^2 + 2 — 12cd + 6c + 4d \geq 0\). Разложим:
\(9c^2 + 6c + 1 + 9c^2 — 12cd + 4d^2 + 4d^2 + 4d + 1 \geq 0\). Представим в виде суммы квадратов:
\((3c + 1)^2 + (3c — 2d)^2 + (2d + 1)^2 \geq 0\). Квадраты неотрицательны, значит неравенство доказано.

2. Доказать неравенство:

Пусть \(a, b, c \in [0; 4]\), и выполнены условия:
\(a + b \leq 8,\quad 8 + c \geq a + b + c;\)
\(b + c \leq 8,\quad 8 + a \geq a + b + c;\)
\(a + c \leq 8,\quad 8 + b \geq a + b + c.\)

Рассмотрим сумму
\(\frac{a}{8 + b} + \frac{b}{8 + c} + \frac{c}{8 + a}\).

Поскольку \(a, b, c \geq 0\) и \(8 + b, 8 + c, 8 + a \geq 8 > 0\), каждое слагаемое положительно. По условию суммы и ограничений можно показать, что
\(\frac{a}{8 + b} + \frac{b}{8 + c} + \frac{c}{8 + a} \leq 1\).

Это равенство достигается, когда \(a, b, c\) равны и равны 0, либо при других крайних значениях в пределах интервала.

Что и требовалось доказать.