ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 18 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Для положительных чисел \(x\) и \(y\) докажите неравенство \(\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \geq 4\).

2. При \(a > 3\) докажите неравенство \(a + \frac{1}{a-3} \geq 5\).

3. Известно, что \(a^2 + b^2 = 18\), \(c^2 + d^2 = 8\). Докажите, что \(|ac — bd| \leq 12\).

4. Известно, что \(x + y = 2\). Докажите, что \(\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \geq 3\sqrt{2}\).

1. Доказать неравенство:
\(\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \geq 2 \sqrt{\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x}};\)
\(\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \geq 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4;\)
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\(a — 3 + \frac{1}{a — 3} \geq 2 \sqrt{(a — 3) \cdot \frac{1}{a — 3}};\)
\(a — 3 + \frac{1}{a — 3} \geq 2;\)
\(a + \frac{1}{a — 3} \geq 5;\)
Неравенство доказано.

3. Доказать неравенство:
\(a^2 + b^2 = 18, \quad c^2 + d^2 = 8;\)
\(|ac — bd| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2};\)
\(|ac — bd| \leq \sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12;\)
Что и требовалось доказать.

4. Доказать неравенство:
\(\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \geq \frac{x + 2y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 2x}{\sqrt{2}} = \frac{3(x + y)}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2};\)
Что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим неравенство
\(\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \geq 2 \sqrt{\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x}}\).
Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство AM ≥ GM) к положительным числам \(\frac{112x}{y}\) и \(\frac{y}{28x}\).
Среднее арифметическое:
\(\frac{\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x}}{2}\),
среднее геометрическое:
\(\sqrt{\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x}}\).
Умножая обе части неравенства AM ≥ GM на 2, получаем заданное неравенство:
\(\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \geq 2 \sqrt{\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x}}\).
Вычислим подкоренное выражение:
\(\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x} = \frac{112}{28} = 4\).
Значит,
\(\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \geq 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\).
Что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим неравенство
\(a — 3 + \frac{1}{a — 3} \geq 2 \sqrt{(a — 3) \cdot \frac{1}{a — 3}}\).
Опять применим неравенство AM ≥ GM к положительным числам \(a — 3\) и \(\frac{1}{a — 3}\).
Среднее арифметическое:
\(\frac{a — 3 + \frac{1}{a — 3}}{2}\),
среднее геометрическое:
\(\sqrt{(a — 3) \cdot \frac{1}{a — 3}} = 1\).
Умножая обе части на 2, получаем:
\(a — 3 + \frac{1}{a — 3} \geq 2\).
Переносим \(-3\) в левую часть:
\(a + \frac{1}{a — 3} \geq 5\).
Неравенство доказано.

3. Дано:
\(a^2 + b^2 = 18\),
\(c^2 + d^2 = 8\).
Нужно доказать неравенство:
\(|ac — bd| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2}\).
Это неравенство известно как неравенство Коши–Буняковского для векторов \((a, b)\) и \((c, -d)\).
Подставим значения:
\(|ac — bd| \leq \sqrt{18} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{144} = 12\).
Что и требовалось доказать.

4. Рассмотрим неравенство:
\(\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \geq \frac{x + 2y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 2x}{\sqrt{2}}\).
Обозначим векторы \(\mathbf{u} = (x, 2y)\) и \(\mathbf{v} = (y, 2x)\).
Тогда \(\|\mathbf{u}\| = \sqrt{x^2 + 4y^2}\), \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{y^2 + 4x^2}\).
По неравенству треугольника:
\(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| \geq \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|\).
Вычислим:
\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x + y, 2y + 2x) = (x + y, 2(x + y))\).
Норма суммы:
\(\sqrt{(x + y)^2 + (2(x + y))^2} = \sqrt{(x + y)^2 + 4(x + y)^2} = \sqrt{5(x + y)^2} =\)
\(= \sqrt{5} |x + y|\).
Правая часть неравенства:
\(\frac{x + 2y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 2x}{\sqrt{2}} = \frac{x + 2y + y + 2x}{\sqrt{2}} = \frac{3(x + y)}{\sqrt{2}}\).
Поскольку \(\sqrt{5} > \frac{3}{\sqrt{2}}\), то
\(\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \geq \frac{3(x + y)}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2}\).
Что и требовалось доказать.