ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 18 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Для положительных чисел \(a\) и \(b\) докажите неравенство \(\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \geq 5\).

2. При \(y > 7\) докажите неравенство \(y + \frac{1}{y-7} \geq 2\).

3. Известно, что \(a^2 + b^2 = 5\), \(c^2 + d^2 = 20\). Докажите, что \(|ac + bd| \leq 10\).

4. Известно, что \(x + y = 2\). Докажите, что \(\sqrt{x^2 + 16 y^2} + \sqrt{y^2 + 16 x^2} \geq 5 \sqrt{2}\).

1. Доказать неравенство:
\(\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{20b} \cdot \frac{125b}{a}};\)
\(\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{125}{20}} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5;\)
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\(y — 7 + \frac{1}{y — 7} \geq 2 \sqrt{(y-7) \cdot \frac{1}{y-7}};\)
\(y — 7 + \frac{1}{y — 7} \geq 2;\)
\(y + \frac{1}{y-7} \geq 2;\)
Неравенство доказано.

3. Доказать неравенство:
\(a^2 + b^2 = 5, \quad c^2 + d^2 = 20;\)
\(|ac + bd| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2};\)
\(|ac + bd| \leq \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10;\)
Что и требовалось доказать.

4. Доказать неравенство:
\(\sqrt{x^2 + 16y^2} + \sqrt{y^2 + 16x^2} \geq \frac{x + 4y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 4x}{\sqrt{2}} = \frac{5(x+y)}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2};\)
Что и требовалось доказать.

1. Доказать неравенство:
Рассмотрим выражение \(\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a}\). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел выполняется:
\(\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{20b} \cdot \frac{125b}{a}}\).
Внутри корня произведение упрощается:
\(\frac{a}{20b} \cdot \frac{125b}{a} = \frac{125}{20} = \frac{25 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{4}\).
Следовательно,
\(\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{25}{4}} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5\).
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
Рассмотрим выражение \(y — 7 + \frac{1}{y — 7}\), где \(y \neq 7\). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
\(y — 7 + \frac{1}{y — 7} \geq 2 \sqrt{(y — 7) \cdot \frac{1}{y — 7}} = 2\).
Поскольку произведение под корнем равно 1, то
\(y — 7 + \frac{1}{y — 7} \geq 2\).
Неравенство доказано.

3. Доказать неравенство:
Дано \(a^2 + b^2 = 5\) и \(c^2 + d^2 = 20\). Рассмотрим выражение \(|ac + bd|\). По неравенству Коши-Буняковского:
\(|ac + bd| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2}\).
Подставим известные значения:
\(|ac + bd| \leq \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10\).
Что и требовалось доказать.

4. Доказать неравенство:
Рассмотрим выражение \(\sqrt{x^2 + 16 y^2} + \sqrt{y^2 + 16 x^2}\). Используем неравенство треугольника в евклидовом пространстве:
\(\sqrt{x^2 + 16 y^2} + \sqrt{y^2 + 16 x^2} \geq \sqrt{(x + 4 y)^2} + \sqrt{(y + 4 x)^2}\).
Поскольку \(\sqrt{(x + 4 y)^2} = |x + 4 y|\) и \(\sqrt{(y + 4 x)^2} = |y + 4 x|\), то:
\(\sqrt{x^2 + 16 y^2} + \sqrt{y^2 + 16 x^2} \geq |x + 4 y| + |y + 4 x|\).
Для положительных \(x, y\) или при взятии модулей:
\(\geq \frac{x + 4 y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 4 x}{\sqrt{2}} = \frac{5 (x + y)}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}\).
Что и требовалось доказать.