Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 18 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Для положительных чисел \(x\) и \(y\) докажите неравенство \(\frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \geq 3\).
2. При \(b > 5\) докажите неравенство \(b — 5 + \frac{1}{b — 5} \geq 2\).
3. Известно, что \(a^2 + b^2 = 28\), \(c^2 + d^2 = 7\). Докажите, что \(|ac — bd| \leq 14\).
4. Известно, что \(x + y = 1\). Докажите, что \(\sqrt{x^2 + 25 y^2} + \sqrt{y^2 + 25 x^2} \geq 3 \sqrt{2}\).
1. Доказать неравенство:
\(\frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \geq 2 \sqrt{\frac{18x}{y} \cdot \frac{y}{8x}};\)
\(\frac{18x}{y} \cdot \frac{y}{8x} \geq 2 \sqrt{\frac{9}{4}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3;\)
Что и требовалось доказать.
2. Доказать неравенство:
\(b — 5 + \frac{1}{b — 5} \geq 2 \sqrt{b — 5 \cdot \frac{1}{b — 5}};\)
\(b — 5 + \frac{1}{b — 5} \geq 2;\)
Неравенство доказано.
3. Доказать неравенство:
\(a^2 + b^2 = 28, \quad c^2 + d^2 = 7;\)
\(|ac — bd| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2};\)
\(|ac — bd| \leq \sqrt{28 \cdot 7} = \sqrt{196} = 14;\)
Что и требовалось доказать.
4. Доказать неравенство:
\(\sqrt{x^2 + 25y^2} + \sqrt{y^2 + 25x^2} \geq \frac{x + 5y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 5x}{\sqrt{2}} = \frac{6(x + y)}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} (x + y)=\)
\( = 3 \sqrt{2} (x + y);\)
Что и требовалось доказать.
1. Доказать неравенство:
Рассмотрим выражение \( \frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел справедливо:
\( \frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \geq 2 \sqrt{\frac{18x}{y} \cdot \frac{y}{8x}} \).
Вычислим произведение под корнем:
\( \frac{18x}{y} \cdot \frac{y}{8x} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \).
Подставим:
\( \frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \geq 2 \sqrt{\frac{9}{4}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \).
Таким образом, доказано, что
\( \frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \geq 3 \).
Что и требовалось доказать.
2. Доказать неравенство:
Рассмотрим выражение
\( b — 5 + \frac{1}{b — 5} \).
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:
\( b — 5 + \frac{1}{b — 5} \geq 2 \sqrt{(b — 5) \cdot \frac{1}{b — 5}} = 2 \).
Таким образом,
\( b — 5 + \frac{1}{b — 5} \geq 2 \).
Неравенство доказано.
3. Доказать неравенство:
Даны условия:
\( a^2 + b^2 = 28 \),
\( c^2 + d^2 = 7 \).
Применим неравенство Коши-Буняковского:
\( |ac — bd| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} \).
Подставим известные значения:
\( |ac — bd| \leq \sqrt{28} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{28 \cdot 7} = \sqrt{196} = 14 \).
Что и требовалось доказать.
4. Доказать неравенство:
Рассмотрим левую часть:
\( \sqrt{x^2 + 25 y^2} + \sqrt{y^2 + 25 x^2} \).
Применим неравенство треугольника в пространстве с векторами \( (x, 5y) \) и \( (y, 5x) \):
\( \sqrt{x^2 + 25 y^2} + \sqrt{y^2 + 25 x^2} \geq \sqrt{(x + y)^2 + 25 (y + x)^2} =\)
\(= \sqrt{(x + y)^2 + 25 (x + y)^2} \).
Сложим подкоренные выражения:
\( = \sqrt{(x + y)^2 (1 + 25)} = \sqrt{26 (x + y)^2} = \sqrt{26} |x + y| \).
Рассмотрим правую часть:
\( \frac{x + 5 y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 5 x}{\sqrt{2}} = \frac{(x + 5 y) + (y + 5 x)}{\sqrt{2}} = \frac{6(x + y)}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} (x + y) \).
Сравним обе части:
\( \sqrt{26} |x + y| \geq 3 \sqrt{2} (x + y) \).
Так как \( \sqrt{26} \approx 5.1 > 3 \sqrt{2} \approx 4.24 \), при \( x + y \geq 0 \) неравенство верно.
Таким образом,
\( \sqrt{x^2 + 25 y^2} + \sqrt{y^2 + 25 x^2} \geq \frac{x + 5 y}{\sqrt{2}} + \frac{y + 5 x}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} (x + y) \).
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.