ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 19 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через 2 ч 30 мин. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль.

2. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 2 ч 24 мин. Если сначала через первую трубу наполнить \(\frac{1}{3}\) бассейна, а потом через вторую трубу — оставшуюся часть бассейна, то весь бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?

3. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как 2:3 и 1:4 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 40 кг нового сплава, в котором массы меди и цинка относятся как 1:3?

1. Зададим переменные:
\(x\) км/ч — скорость легкового;
\(y\) км/ч — скорость грузового;
Первое уравнение:
\((x + y) \cdot 2 \cdot \frac{30}{60} = 300;\)
\(2,5(x + y) = 300;\)
\(x + y = 120;\)
\(y = 120 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{300}{y} — \frac{300}{x} = 3 \cdot \frac{45}{60};\)
\(\frac{300}{120 — x} — \frac{300}{x} = \frac{15}{4};\)
\(\frac{20}{120 — x} — \frac{20}{x} = \frac{1}{4};\)
\(80x — 80(120 — x) = x(120 — x);\)
\(80x — 9600 + 80x = 120x — x^2;\)
\(x^2 + 40x — 9600 = 0;\)
\(D = 40^2 + 4 \cdot 9600 = 1600 + 38400 = 40000,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-40 — 200}{2} = -120\) и \(x_2 = \frac{-40 + 200}{2} = 80;\)
\(y_1 = 120 + 120 = 240\) и \(y_2 = 120 — 80 = 40;\)
Ответ: 80 км/ч и 40 км/ч.

2. Зададим переменные:
\(x\) ч — требуется первой;
\(y\) ч — требуется второй;
Первое уравнение:
\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y = 6;\)
\(x + 2y = 18;\)
\(x = 18 — 2y;\)
Второе уравнение:
\(2 \cdot \frac{24}{60} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1;\)
\(\frac{1}{18 — 2y} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12};\)
\(12y + 12(18 — 2y) = 5y(18 — 2y);\)
\(12y + 216 — 24y = 90y — 10y^2;\)
\(10y^2 — 102y + 216 = 0;\)
\(5y^2 — 51y + 108 = 0;\)
\(D = 51^2 — 4 \cdot 5 \cdot 108 = 2601 — 2160 = 441,\) тогда:
\(y_1 = \frac{51 — 21}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3\) и \(y_2 = \frac{51 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{72}{10} = 7,2;\)
\(x_1 = 18 — 6 = 12\) и \(x_2 = 18 — 14,4 = 3,6;\)
Ответ: 12 ч и 3 ч; 3 ч 36 мин и 7 ч 12 мин.

3. Зададим переменные:
\(x\) кг — масса первого слитка;
\(y\) кг — масса второго слитка;
Первое уравнение:
\(x + y = 40,\quad y = 40 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}y = 40 \cdot \frac{1}{4};\)
\(\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}(40 — x) = 10;\)
\(\frac{2}{5}x + 8 — \frac{1}{5}x = 10;\)
\(\frac{1}{5}x = 2,\quad x = 10;\)
\(y = 40 — 10 = 30;\)
Ответ: 10 кг и 30 кг.

1. Зададим переменные:
\(x\) км/ч — скорость легкового автомобиля;
\(y\) км/ч — скорость грузового автомобиля.

Первое уравнение:
Общее расстояние, пройденное двумя автомобилями за 30 минут (0,5 часа), равно 300 км. Скорость обоих вместе равна сумме их скоростей \(x + y\).
По формуле пути:
\((x + y) \cdot 2 \cdot \frac{30}{60} = 300,\)
где множитель 2 — время в часах (30 минут = 0,5 часа, а 2 — обратное значение 0,5). Упростим:
\(2,5(x + y) = 300;\)
откуда
\(x + y = 120;\)
значит
\(y = 120 — x.\)

Второе уравнение:
Дано, что разница во времени, затраченном на преодоление 300 км, равна \(3 \cdot \frac{45}{60} = \frac{15}{4}\) часов. Время для легкового — \(\frac{300}{x}\), для грузового — \(\frac{300}{y}\). Тогда:
\(\frac{300}{y} — \frac{300}{x} = \frac{15}{4}.\)
Подставим \(y = 120 — x\):
\(\frac{300}{120 — x} — \frac{300}{x} = \frac{15}{4}.\)
Разделим обе части на 15:
\(\frac{20}{120 — x} — \frac{20}{x} = \frac{1}{4}.\)

Домножим на \(4x(120 — x)\) для избавления от знаменателей:
\(4x(120 — x) \cdot \left(\frac{20}{120 — x} — \frac{20}{x}\right) = 4x(120 — x) \cdot \frac{1}{4}.\)
Раскроем скобки:
\(80x — 80(120 — x) = x(120 — x).\)
Раскроем левую часть:
\(80x — 9600 + 80x = 120x — x^2.\)
Соберем все в одно уравнение:
\(x^2 + 40x — 9600 = 0.\)

Вычислим дискриминант:
\(D = 40^2 + 4 \cdot 9600 = 1600 + 38400 = 40000.\)
Найдем корни:
\(x_1 = \frac{-40 — 200}{2} = -120,\)
\(x_2 = \frac{-40 + 200}{2} = 80.\)
Отрицательный корень не подходит, значит
\(x = 80.\)
Тогда
\(y = 120 — 80 = 40.\)

Ответ: 80 км/ч и 40 км/ч.

2. Зададим переменные:
\(x\) ч — время, требуемое первой;
\(y\) ч — время, требуемое второй.

Первое уравнение:
\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y = 6.\)
Домножим на 3:
\(x + 2y = 18.\)
Выразим \(x\):
\(x = 18 — 2y.\)

Второе уравнение:
Дано:
\(2 \cdot \frac{24}{60} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1.\)
Упростим множитель:
\(\frac{24}{60} = \frac{2}{5},\) значит:
\(2 \cdot \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1,\)
или
\(\frac{4}{5} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1.\)
Домножим на \(\frac{5}{4}\):
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4}.\)

Подставим \(x = 18 — 2y\):
\(\frac{1}{18 — 2y} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4}.\)
Домножим обе части на \(4y(18 — 2y)\):
\(4y + 4(18 — 2y) = 5y(18 — 2y).\)
Раскроем скобки:
\(4y + 72 — 8y = 90y — 10y^2.\)
Соберем все в уравнение:
\(10y^2 — 102y + 216 = 0.\)
Разделим на 2:
\(5y^2 — 51y + 108 = 0.\)

Вычислим дискриминант:
\(D = 51^2 — 4 \cdot 5 \cdot 108 = 2601 — 2160 = 441.\)
Найдем корни:
\(y_1 = \frac{51 — 21}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3,\)
\(y_2 = \frac{51 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{72}{10} = 7,2.\)

Найдем соответствующие \(x\):
\(x_1 = 18 — 2 \cdot 3 = 12,\)
\(x_2 = 18 — 2 \cdot 7,2 = 3,6.\)

Ответ: 12 ч и 3 ч; 3 ч 36 мин и 7 ч 12 мин.

3. Зададим переменные:
\(x\) кг — масса первого слитка;
\(y\) кг — масса второго слитка.

Первое уравнение:
\(x + y = 40,\)
откуда
\(y = 40 — x.\)

Второе уравнение:
\(\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}y = 40 \cdot \frac{1}{4}.\)
Подставим \(y\):
\(\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}(40 — x) = 10.\)
Раскроем скобки:
\(\frac{2}{5}x + 8 — \frac{1}{5}x = 10.\)
Сложим коэффициенты при \(x\):
\(\frac{1}{5}x + 8 = 10.\)
Вычислим \(x\):
\(\frac{1}{5}x = 2,\)
\(x = 10.\)
Тогда
\(y = 40 — 10 = 30.\)

Ответ: 10 кг и 30 кг.