ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 19 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой.

2. Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за 6 ч. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует \(\frac{3}{5}\) дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за 12 ч. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?

3. В двух сплавах массы меди и олова относятся как 3:4 и 1:6 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 42 кг нового сплава, в котором массы меди и олова относятся как 5:16?

1. Зададим переменные:
\(x\) км/ч — скорость первого; \(y\) км/ч — скорость второго;
Первое уравнение:
\(2(x + y) = 50;\)
\(x + y = 25;\)
\(y = 25 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{50}{x} — \frac{50}{y} = 1 \cdot \frac{40}{60};\)
\(\frac{50}{x} — \frac{50}{25 — x} = \frac{5}{3};\)
\(\frac{10}{x} — \frac{10}{25 — x} = \frac{1}{3};\)
\(30(25 — x) — 30x = x(25 — x);\)
\(750 — 30x — 30x = 25x — x^2;\)
\(x^2 — 85x + 750 = 0;\)
\(D = 85^2 — 4 \cdot 750 = 7225 — 3000 = 4225,\) тогда:
\(x_1 = \frac{85 — 65}{2} = 10\) и \(x_2 = \frac{85 + 65}{2} = \frac{150}{2} = 75;\)
\(y_1 = 25 — 10 = 15\) и \(y_2 = 25 — 75 = -50;\)
Ответ: 10 км/ч и 15 км/ч.

2. Зададим переменные:
\(x\) ч — требуется первой;
\(y\) ч — требуется второй;
Первое уравнение:
\(\frac{3}{5}x + \frac{2}{5}y = 12;\)
\(3x + 2y = 60;\)
\(2y = 60 — 3x;\)
\(y = 30 — 1,5x;\)
Второе уравнение:
\(6 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1;\)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{30 — 1,5x} = \frac{1}{6};\)
\(6(30 — 1,5x) + 6x = x(30 — 1,5x);\)
\(180 — 9x + 6x = 30x — 1,5x^2;\)
\(1,5x^2 — 33x + 180 = 0;\)
\(x^2 — 22x + 120 = 0;\)
\(D = 22^2 — 4 \cdot 120 = 484 — 480 = 4,\) тогда:
\(x_1 = \frac{22 — 2}{2} = 10\) и \(x_2 = \frac{22 + 2}{2} = \frac{24}{2} = 12;\)
\(y_1 = 30 — 15 = 15\) и \(y_2 = 30 — 18 = 12;\)
Ответ: 10 ч и 15 ч; 12 ч и 12 ч.

3. Зададим переменные:
\(x\) кг — масса первого слитка;
\(y\) кг — масса второго слитка;
Первое уравнение:
\(x + y = 42,\) \(y = 42 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{3}{7}x + \frac{1}{7}y = 42 \cdot \frac{5}{21};\)
\(\frac{3}{7}x + \frac{1}{7}(42 — x) = 10;\)
\(\frac{3}{7}x + 6 — \frac{1}{7}x = 10;\)
\(\frac{2}{7}x = 4,\) \(x = 14;\)
\(y = 42 — 14 = 28;\)
Ответ: 14 кг и 28 кг.

1. Пусть \(x\) км/ч — скорость первого велосипедиста, \(y\) км/ч — скорость второго. Расстояние между селами равно 50 км, они встретились через 2 часа. Значит, сумма скоростей равна расстоянию, делённому на время:
\(2(x + y) = 50,\) откуда
\(x + y = 25.\)
Выразим \(y\):
\(y = 25 — x.\)

Время, которое потратил первый велосипедист на весь путь:
\(\frac{50}{x}\) часов,
второй — \(\frac{50}{y} = \frac{50}{25 — x}\) часов.

По условию, разница во времени равна 1 ч 40 мин = \(\frac{5}{3}\) часа:
\(\frac{50}{x} — \frac{50}{25 — x} = \frac{5}{3}.\)

Домножим уравнение на общий знаменатель \(3x(25 — x)\):
\(3 \cdot 50 (25 — x) — 3 \cdot 50 x = 5 x (25 — x),\)
\(150 (25 — x) — 150 x = 5 x (25 — x).\)

Раскроем скобки:
\(3750 — 150 x — 150 x = 125 x — 5 x^{2},\)
\(3750 — 300 x = 125 x — 5 x^{2}.\)

Перенесём все в одну сторону:
\(5 x^{2} — 425 x + 3750 = 0.\)

Разделим на 5:
\(x^{2} — 85 x + 750 = 0.\)

Вычислим дискриминант:
\(D = 85^{2} — 4 \cdot 750 = 7225 — 3000 = 4225.\)

Корни:
\(x_{1} = \frac{85 — 65}{2} = 10,\)
\(x_{2} = \frac{85 + 65}{2} = 75.\)

При \(x=10\), \(y=25 — 10 = 15\); при \(x=75\), \(y=25 — 75 = -50\) (отрицательная скорость невозможна).

Ответ: скорости 10 км/ч и 15 км/ч.

2. Пусть \(x\) часов требуется первой бригаде, \(y\) — второй, чтобы отремонтировать дорогу самостоятельно.

Работая вместе, они делают работу за 6 часов, значит их суммарная производительность:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}.\)

Если первая бригада отремонтирует сначала \(\frac{3}{5}\) дороги, то затратит на это время:
\(\frac{3}{5} x.\)

Вторая бригада отремонтирует оставшуюся часть \(\frac{2}{5}\) дороги за время:
\(\frac{2}{5} y.\)

Суммарное время:
\(\frac{3}{5} x + \frac{2}{5} y = 12.\)

Домножим последнее уравнение на 5:
\(3 x + 2 y = 60.\)

Выразим \(y\):
\(2 y = 60 — 3 x,\)
\(y = 30 — 1{,}5 x.\)

Подставим в уравнение производительности:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{30 — 1{,}5 x} = \frac{1}{6}.\)

Домножим на \(6 x (30 — 1{,}5 x)\):
\(6 (30 — 1{,}5 x) + 6 x = x (30 — 1{,}5 x).\)

Раскроем скобки:
\(180 — 9 x + 6 x = 30 x — 1{,}5 x^{2}.\)

Соберём в одно уравнение:
\(1{,}5 x^{2} — 33 x + 180 = 0.\)

Разделим на 1,5:
\(x^{2} — 22 x + 120 = 0.\)

Вычислим дискриминант:
\(D = 22^{2} — 4 \cdot 120 = 484 — 480 = 4.\)

Корни:
\(x_{1} = \frac{22 — 2}{2} = 10,\)
\(x_{2} = \frac{22 + 2}{2} = 12.\)

Для \(x=10\),
\(y = 30 — 1{,}5 \times 10 = 15.\)

Для \(x=12\),
\(y = 30 — 1{,}5 \times 12 = 12.\)

Ответ: первая бригада может сделать работу за 10 ч, вторая — за 15 ч; либо обе по 12 ч.

3. Пусть \(x\) кг — масса первого сплава, \(y\) кг — масса второго.

Общее количество:
\(x + y = 42.\)

Массы меди и олова в первом сплаве относятся как 3:4, значит меди в первом сплаве:
\(\frac{3}{7} x,\) олова: \(\frac{4}{7} x.\)

Во втором сплаве отношение меди к олову 1:6, меди:
\(\frac{1}{7} y,\) олова: \(\frac{6}{7} y.\)

В новом сплаве отношение меди к олову 5:16, всего 42 кг, меди:
\(\frac{5}{21} \times 42 = 10\) кг, олова:
\(\frac{16}{21} \times 42 = 32\) кг.

Составим уравнения по меди и олову:
По меди:
\(\frac{3}{7} x + \frac{1}{7} y = 10.\)

По общему весу:
\(x + y = 42.\)

Выразим \(y\):
\(y = 42 — x.\)

Подставим в уравнение по меди:
\(\frac{3}{7} x + \frac{1}{7} (42 — x) = 10,\)
\(\frac{3}{7} x + 6 — \frac{1}{7} x = 10,\)
\(\frac{2}{7} x = 4,\)
\(x = 14.\)

Тогда
\(y = 42 — 14 = 28.\)

Ответ: 14 кг первого сплава и 28 кг второго.