ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 19 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. От двух станций, расстояние между которыми равно 450 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них истратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.

2. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 ч 48 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно \(\frac{1}{4}\) котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 9 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

3. В двух сплавах массы золота и меди относятся как 7:1 и 5:3 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 32 кг нового сплава, в котором массы золота и меди относятся как 11:5?

1. Зададим переменные:
\(x\) км/ч — скорость первого;
\(y\) км/ч — скорость второго;
Первое уравнение:
\(5(x + y) = 450;\)
\(x + y = 90;\)
\(y = 90 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{450}{x} — \frac{450}{y} = 2 \frac{15}{60};\)
\(\frac{450}{x} — \frac{450}{90 — x} = \frac{9}{4};\)
\(\frac{50}{x} — \frac{50}{90 — x} = \frac{1}{4};\)
\(200(90 — x) — 200x = x(90 — x);\)
\(18000 — 200x — 200x = 90x — x^2;\)
\(x^2 — 490x + 18000 = 0;\)
\(D = 490^2 — 4 \cdot 18000 = 240100 — 72000 = 168100,\) тогда:
\(x_1 = \frac{490 — 410}{2} = \frac{80}{2} = 40\) и \(x_2 = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450;\)
\(y_1 = 90 — 40 = 50\) и \(y_2 = 90 — 450 = -360;\)
Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

2. Зададим переменные:
\(x\) ч — требуется первому;
\(y\) ч — требуется второму;
Первое уравнение:
\(\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = 9;\)
\(x + 3y = 36;\)
\(x = 36 — 3y;\)
Второе уравнение:
\(4 \cdot \frac{48}{60} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1;\)
\(\frac{1}{36 — 3y} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24};\)
\(24y + 24(36 — 3y) = 5y(36 — 3y);\)
\(24y + 864 — 72y = 180y — 15y^2;\)
\(15y^2 — 228y + 864 = 0;\)
\(5y^2 — 76y + 288 = 0;\)
\(D = 76^2 — 4 \cdot 5 \cdot 288 = 5776 — 5760 = 16,\) тогда:
\(y_1 = \frac{76 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{72}{10} = 7,2\) и \(y_2 = \frac{76 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8;\)
\(x_1 = 36 — 21,6 = 14,4\) и \(x_2 = 36 — 24 = 12;\)
Ответ: 14 ч 24 мин и 7 ч 12 мин; 12 ч и 8 ч.

3. Зададим переменные:
\(x\) кг — масса первого слитка;
\(y\) кг — масса второго слитка;
Первое уравнение:
\(x + y = 32,\quad y = 32 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{7}{8}x + \frac{5}{8}y = 32 \cdot \frac{11}{16};\)
\(\frac{7}{8}x + \frac{5}{8}(32 — x) = 22;\)
\(\frac{7}{8}x + 20 — \frac{5}{8}x = 22;\)
\(\frac{2}{8}x = 2,\quad x = 8;\)
\(y = 32 — 8 = 24;\)
Ответ: 8 кг и 24 кг.

1. Зададим переменные:
\(x\) км/ч — скорость первого;
\(y\) км/ч — скорость второго.

Первое уравнение:
Из условия известно, что за 5 часов они вместе проезжают 450 км, значит:
\(5(x + y) = 450.\)
Отсюда:
\(x + y = \frac{450}{5} = 90.\)
Выразим \(y\):
\(y = 90 — x.\)

Второе уравнение:
Из условия дана разница во времени:
\(\frac{450}{x} — \frac{450}{y} = 2 \frac{15}{60} = \frac{9}{4}.\)
Подставим \(y = 90 — x\):
\(\frac{450}{x} — \frac{450}{90 — x} = \frac{9}{4}.\)
Разделим обе части на 9:
\(\frac{50}{x} — \frac{50}{90 — x} = \frac{1}{4}.\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{50(90 — x) — 50x}{x(90 — x)} = \frac{1}{4}.\)
Раскроем числитель:
\(\frac{4500 — 50x — 50x}{x(90 — x)} = \frac{1}{4}.\)
\(\frac{4500 — 100x}{x(90 — x)} = \frac{1}{4}.\)
Перемножим крест-накрест:
\(4(4500 — 100x) = x(90 — x).\)
Раскроем скобки:
\(18000 — 400x = 90x — x^2.\)
Перенесём все в одну сторону:
\(x^2 — 490x + 18000 = 0.\)

Найдём дискриминант:
\(D = (-490)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 — 72000 = 168100.\)
Вычислим корни:
\(x_1 = \frac{490 — \sqrt{168100}}{2} = \frac{490 — 410}{2} = \frac{80}{2} = 40,\)
\(x_2 = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450.\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
\(y_1 = 90 — 40 = 50,\)
\(y_2 = 90 — 450 = -360\) (отрицательное значение не подходит).

Ответ:
\(40\) км/ч и \(50\) км/ч.

2. Зададим переменные:
\(x\) ч — требуется первому;
\(y\) ч — требуется второму.

Первое уравнение:
\(\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = 9.\)
Умножим на 4:
\(x + 3y = 36.\)
Выразим \(x\):
\(x = 36 — 3y.\)

Второе уравнение:
Из условия:
\(4 \cdot \frac{48}{60} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1.\)
Сократим:
\(\frac{48}{60} = \frac{4}{5},\) значит:
\(4 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1,\)
\( \frac{16}{5} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1.\)
Отсюда:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{16}.\)

Подставим \(x = 36 — 3y\):
\(\frac{1}{36 — 3y} + \frac{1}{y} = \frac{5}{16}.\)
Домножим на \(y(36 — 3y)\):
\(y + 36 — 3y = \frac{5}{16} y(36 — 3y).\)
Слева:
\(36 — 2y = \frac{5}{16} (36y — 3y^2).\)
Умножим обе части на 16:
\(16(36 — 2y) = 5(36y — 3y^2).\)
Раскроем скобки:
\(576 — 32y = 180y — 15y^2.\)
Перенесём всё в одну сторону:
\(15y^2 — 228y + 576 = 0.\)

Разделим на 3 для удобства:
\(5y^2 — 76y + 192 = 0.\)

Вычислим дискриминант:
\(D = (-76)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 192 = 5776 — 3840 = 1936.\)
Корни:
\(y_1 = \frac{76 — \sqrt{1936}}{2 \cdot 5} = \frac{76 — 44}{10} = \frac{32}{10} = 3,2,\)
\(y_2 = \frac{76 + 44}{10} = \frac{120}{10} = 12.\)

Найдём \(x\):
\(x_1 = 36 — 3 \cdot 3,2 = 36 — 9,6 = 26,4,\)
\(x_2 = 36 — 3 \cdot 12 = 36 — 36 = 0.\)

Ответ:
Первый вариант: \(26\) ч \(24\) мин и \(3\) ч \(12\) мин;
Второй вариант: \(0\) ч и \(12\) ч (не подходит).

3. Зададим переменные:
\(x\) кг — масса первого слитка;
\(y\) кг — масса второго слитка.

Первое уравнение:
\(x + y = 32,\)
отсюда:
\(y = 32 — x.\)

Второе уравнение:
\(\frac{7}{8} x + \frac{5}{8} y = 32 \cdot \frac{11}{16}.\)
Подставим \(y\):
\(\frac{7}{8} x + \frac{5}{8} (32 — x) = \frac{352}{16} = 22.\)
Раскроем скобки:
\(\frac{7}{8} x + 20 — \frac{5}{8} x = 22.\)
Сложим:
\(\frac{2}{8} x + 20 = 22.\)
\(\frac{1}{4} x = 2,\)
\(x = 8.\)
Тогда:
\(y = 32 — 8 = 24.\)

Ответ:
\(8\) кг и \(24\) кг.