ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 19 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 21 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 3 ч. Найдите скорость каждого туриста, если один из них потратил на весь путь на 1 ч 45 мин меньше, чем другой.

2. Два маляра, работая одновременно, могут покрасить фасад здания за 3 ч 36 мин. Если же сначала первый маляр покрасит самостоятельно \(\frac{2}{3}\) фасада, а затем второй — оставшуюся часть фасада, то весь фасад будет покрашен за 7 ч. За сколько часов может покрасить фасад здания каждый маляр, работая самостоятельно?

3. В двух сплавах массы меди и никеля относятся как \(2:7\) и \(5:4\) соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 54 кг нового сплава, в котором массы меди и никеля относятся как \(4:5\)?

1. Зададим переменные:
\(x\) км/ч – скорость первого;
\(y\) км/ч – скорость второго;
Первое уравнение:
\(3(x + y) = 21;\)
\(x + y = 7;\)
\(y = 7 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{21}{x} — \frac{21}{y} = 1 \frac{45}{60};\)
\(\frac{21}{x} — \frac{21}{7 — x} = \frac{7}{4};\)
\(\frac{3}{x} — \frac{3}{7 — x} = \frac{1}{4};\)
\(12(7 — x) — 12x = x(7 — x);\)
\(84 — 12x — 12x = 7x — x^2;\)
\(x^2 — 31x + 84 = 0;\)
\(D = 31^2 — 4 \cdot 84 = 961 — 336 = 625,\) тогда:
\(x_1 = \frac{31 — 25}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{31 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28;\)
\(y_1 = 7 — 3 = 4\) и \(y_2 = 7 — 28 = -21;\)
Ответ: 3 км/ч и 4 км/ч.

2. Зададим переменные:
\(x\) ч – требуется первому;
\(y\) ч – требуется второму;
Первое уравнение:
\(\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = 7;\)
\(2x + y = 21;\)
\(y = 21 — 2x;\)
Второе уравнение:
\(3 \cdot \frac{36}{60} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1;\)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{21 — 2x} = \frac{5}{18};\)
\(18(21 — 2x) + 18x = 5x(21 — 2x);\)
\(378 — 36x + 18x = 105x — 10x^2;\)
\(10x^2 — 123x + 378 = 0;\)
\(D = 123^2 — 4 \cdot 10 \cdot 378 = 15129 — 15120 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{123 — 3}{2 \cdot 10} = \frac{120}{20} = 6\) и \(x_2 = \frac{123 + 3}{2 \cdot 10} = \frac{126}{20} = 6,3;\)
\(y_1 = 21 — 12 = 9\) и \(y_2 = 21 — 12,6 = 8,4;\)
Ответ: 6 ч и 9 ч; 6 ч 18 мин и 8 ч 24 мин.

3. Зададим переменные:
\(x\) кг – масса первого слитка;
\(y\) кг – масса второго слитка;
Первое уравнение:
\(x + y = 54,\)
\(y = 54 — x;\)
Второе уравнение:
\(\frac{2}{9}x + \frac{5}{9}y = 54 \cdot \frac{4}{9};\)
\(\frac{2}{9}x + \frac{5}{9}(54 — x) = 24;\)
\(\frac{2}{9}x + 30 — \frac{5}{9}x = 24;\)
\(\frac{3}{9}x = 6,\)
\(x = 18;\)
\(y = 54 — 18 = 36;\)
Ответ: 18 кг и 36 кг.

1. Зададим переменные: \(x\) км/ч – скорость первого; \(y\) км/ч – скорость второго.

Первое уравнение:
Пусть суммарная скорость двух объектов за 3 часа равна 21 км, тогда
\(3(x + y) = 21\).
Разделим обе части на 3:
\(x + y = 7\).
Выразим \(y\):
\(y = 7 — x\).

Второе уравнение:
Разность времени, затраченного на прохождение 21 км первым и вторым, равна \(1 \frac{45}{60}\) часа, то есть \(1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\) часа.
Время первого: \(\frac{21}{x}\), время второго: \(\frac{21}{y}\).
Тогда уравнение:
\(\frac{21}{x} — \frac{21}{y} = \frac{7}{4}\).
Подставим \(y = 7 — x\):
\(\frac{21}{x} — \frac{21}{7 — x} = \frac{7}{4}\).
Сократим на 7:
\(\frac{3}{x} — \frac{3}{7 — x} = \frac{1}{4}\).

Домножим обе части на \(4x(7 — x)\):
\(4 \cdot 3 (7 — x) — 4 \cdot 3 x = x (7 — x)\).
Раскроем скобки:
\(12(7 — x) — 12x = x(7 — x)\).
Выполним умножение:
\(84 — 12x — 12x = 7x — x^2\).
Соберём все члены в одну сторону:
\(x^2 — 31x + 84 = 0\).

Найдём дискриминант:
\(D = 31^2 — 4 \cdot 1 \cdot 84 = 961 — 336 = 625\).

Вычислим корни:
\(x_1 = \frac{31 — 25}{2} = 3\),
\(x_2 = \frac{31 + 25}{2} = 28\).

Найдём соответствующие \(y\):
\(y_1 = 7 — 3 = 4\),
\(y_2 = 7 — 28 = -21\) (отрицательное значение не подходит).

Ответ: \(3\) км/ч и \(4\) км/ч.

2. Зададим переменные: \(x\) ч – требуется первому; \(y\) ч – требуется второму.

Первое уравнение:
Согласно условию,
\(\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y = 7\).
Домножим на 3:
\(2x + y = 21\).
Выразим \(y\):
\(y = 21 — 2x\).

Второе уравнение:
Дано:
\(3 \cdot \frac{36}{60} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\).
Сократим \(\frac{36}{60} = \frac{3}{5}\):
\(3 \cdot \frac{3}{5} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\),
то есть
\(\frac{9}{5} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\).
Умножим обе части на \(\frac{5}{9}\):
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{9}\).

Подставим \(y = 21 — 2x\):
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{21 — 2x} = \frac{5}{18}\).

Домножим обе части на \(18x(21 — 2x)\):
\(18(21 — 2x) + 18x = 5x(21 — 2x)\).
Раскроем скобки:
\(378 — 36x + 18x = 105x — 10x^2\).
Соберём все члены в одну сторону:
\(10x^2 — 123x + 378 = 0\).

Найдём дискриминант:
\(D = 123^2 — 4 \cdot 10 \cdot 378 = 15129 — 15120 = 9\).

Вычислим корни:
\(x_1 = \frac{123 — 3}{2 \cdot 10} = \frac{120}{20} = 6\),
\(x_2 = \frac{123 + 3}{2 \cdot 10} = \frac{126}{20} = 6,3\).

Найдём соответствующие \(y\):
\(y_1 = 21 — 2 \cdot 6 = 9\),
\(y_2 = 21 — 2 \cdot 6,3 = 8,4\).

Ответ: \(6\) ч и \(9\) ч; \(6\) ч \(18\) мин и \(8\) ч \(24\) мин.

3. Зададим переменные: \(x\) кг – масса первого слитка; \(y\) кг – масса второго слитка.

Первое уравнение:
\(x + y = 54\),
выразим \(y\):
\(y = 54 — x\).

Второе уравнение:
\(\frac{2}{9} x + \frac{5}{9} y = 54 \cdot \frac{4}{9}\).
Подставим \(y = 54 — x\):
\(\frac{2}{9} x + \frac{5}{9} (54 — x) = 24\).
Раскроем скобки:
\(\frac{2}{9} x + 30 — \frac{5}{9} x = 24\).
Соберём \(x\):
\(\frac{2}{9} x — \frac{5}{9} x = 24 — 30\),
\(-\frac{3}{9} x = -6\),
\(\frac{3}{9} x = 6\),
\(x = 18\).

Найдём \(y\):
\(y = 54 — 18 = 36\).

Ответ: \(18\) кг и \(36\) кг.