ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 2 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. На рисунке 1 изображён график функции y=f(x), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) min(R, f(x)); max(R, f(x));
5) min([3; 4], f(x)); max([3; 4], f(x)).
2. Докажите, что функция \(f(x)=4/(x-1)\) убывает на промежутке \((1; +\infty)\).
3. Найдите min(D(f), f(x) и max(D(f), f(x), если \(f(x)=3-\sqrt{1-x^2}\).
4. Возрастающая функция f определена на множестве R. Возрастающей или убывающей является функция \(f(g(x))\), если \(g(x)=3-2x\)?
5. Решите уравнение \(x^3+2\sqrt{2x+5}=14\).

Ответ:

1. Свойства функции:
1) y = 0 при x1 = 0 и x2 = 4;
2) y > 0 при 0 < x < 4;
3) Возрастает на (-∞; 2] и убывает на [2; +∞);
4) min f(x) — не существует и max f(x) = 4;
5) min f(x) = 0 и max f(x) = 3;

2. Функция убывает:
\(f(x) = \frac{4}{x — 1}, x \in (1; +\infty)\)
Если x2 > x1 > 1, тогда:
\(x_2 — 1 > x_1 — 1 > 0\)
\(\frac{1}{x_2 — 1} < \frac{1}{x_1 — 1}\)
\(4 \cdot \frac{1}{x_2 — 1} < 4 \cdot \frac{1}{x_1 — 1}\)
Утверждение доказано.

3. \(f(x) = 3 — \sqrt{1 — x^2}\)
Область значений:
\(x^2 \geq 0, 1 — x^2 \leq 1\)
\(0 \leq \sqrt{1 — x^2} \leq 1\)
\(2 \leq 3 — \sqrt{1 — x^2} \leq 3\)
Ответ: 2; 3.

4. Функция возрастает:
\(D(f) = \mathbb{R}, g(x) = 3 — 2x\)
Если x2 > x1, тогда:
\(-2x_2 < -2x_1\)
\(3 — 2x_2 < 3 — 2x_1\)
\(g(x_2) < g(x_1)\)
\(f(g(x_2)) < f(g(x_1))\)
Ответ: убывает.

5. \(x^3 + 2\sqrt{2}x + 5 = 14\)
\(x^3 — 14 = -2\sqrt{2}x + 5\)
Если x ≥ -2,5, тогда:
\(f(x) = x^3 — 14\) — возрастает
\(g(x) = -2\sqrt{2}x + 5\) — убывает
Есть только одно решение:
\(f(2) = 2^3 — 14 = 8 — 14 = -6\)
\(g(2) = -2\sqrt{4} + 5 = -2 \cdot 2 + 5 = -6\)
Ответ: 2.

1. Свойства функции:
1) Значение функции равно нулю при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 4\), то есть \(y = 0\) при этих точках. Это значит, что график функции пересекает ось Ox в этих точках.
2) Функция принимает положительные значения на промежутке \(0 < x < 4\), то есть между корнями функция находится выше оси Ox.
3) Функция возрастает на интервале \((-\infty; 2]\), что означает, что при увеличении \(x\) от минус бесконечности до 2 значение функции увеличивается. На интервале \([2; +\infty)\) функция убывает, то есть при увеличении \(x\) после 2 значение функции уменьшается.
4) Минимальное значение функции не существует, поскольку функция может стремиться к бесконечно малым значениям, но максимум функции равен 4, то есть на некотором участке функции достигается значение 4.
5) Минимальное значение функции равно 0, а максимальное значение равно 3, что указывает на конкретные экстремумы функции в данных пределах.

2. Функция убывает:
Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{4}{x — 1}\), определённую на интервале \(x \in (1; +\infty)\). Пусть \(x_2 > x_1 > 1\). Тогда разность между аргументами положительна: \(x_2 — 1 > x_1 — 1 > 0\).
Поскольку знаменатель положителен и увеличивается при увеличении \(x\), обратные значения убывают: \(\frac{1}{x_2 — 1} < \frac{1}{x_1 — 1}\). Умножая обе части неравенства на положительное число 4, получаем \(4 \cdot \frac{1}{x_2 — 1} < 4 \cdot \frac{1}{x_1 — 1}\), что доказывает убывание функции на данном интервале.

3. Рассмотрим функцию \(f(x) = 3 — \sqrt{1 — x^2}\).
Область определения функции ограничена условием подкоренного выражения: \(1 — x^2 \geq 0\), откуда следует \(x^2 \leq 1\), то есть \(x \in [-1; 1]\).
Корень \(\sqrt{1 — x^2}\) принимает значения от 0 до 1, так как \(x^2 \geq 0\) и максимум подкоренного выражения равен 1. Следовательно, функция принимает значения от \(3 — 1 = 2\) до \(3 — 0 = 3\).
Ответ: область значений функции — от 2 до 3.

4. Функция возрастает:
Область определения функции \(D(f) = \mathbb{R}\), функция задана композицией через \(g(x) = 3 — 2x\). Пусть \(x_2 > x_1\). Тогда умножение на отрицательное число \(-2\) меняет неравенство: \(-2x_2 < -2x_1\). Прибавляя 3 к обеим частям, получаем \(3 — 2x_2 < 3 — 2x_1\), то есть \(g(x_2) < g(x_1)\).
Так как \(f\) — возрастающая функция, то из неравенства \(g(x_2) < g(x_1)\) следует \(f(g(x_2)) < f(g(x_1))\), что означает, что композиция убывает.
Ответ: функция убывает.

5. Решение уравнения \(x^3 + 2\sqrt{2}x + 5 = 14\):
Преобразуем уравнение к виду \(x^3 — 14 = -2\sqrt{2}x + 5\). Рассмотрим функции \(f(x) = x^3 — 14\) и \(g(x) = -2\sqrt{2}x + 5\). Если \(x \geq -2,5\), то функция \(f(x)\) является возрастающей, так как производная \(3x^2 > 0\) для всех \(x \neq 0\). Функция \(g(x)\) является убывающей, так как коэффициент при \(x\) отрицателен.
Проверим точку \(x = 2\):
\(f(2) = 2^3 — 14 = 8 — 14 = -6\)
\(g(2) = -2\sqrt{4} + 5 = -2 \cdot 2 + 5 = -6\)
Значения функций совпадают, значит, \(x = 2\) — решение уравнения.
Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, решений больше нет.
Ответ: \(x = 2\).