ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 2 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. На рисунке 3 изображён график функции \(y=f(x)\), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) \(\min(\mathbb{R}, f(x))\); \(\max(\mathbb{R}, f(x))\);
5) \(\min([-2; 0], f(x))\); \(\max([-2; 0], f(x))\).

2. Докажите, что функция \(f(x)=\frac{5}{x+2}\) убывает на промежутке \((-2; +\infty)\).

3. Найдите \(\min(D(f), f(x))\) и \(\max(D(f), f(x))\), если \(f(x)=4-\sqrt{4-x^2}\).

4. Убывающая функция \(f\) определена на множестве \(\mathbb{R}\). Возрастающей или убывающей является функция \(f(g(x))\), если \(g(x)=3x-1\)?

5. Решите уравнение \(x^3 + 4\sqrt{2x+11} = 11\).

1) Функция равна нулю при \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 4\).

2) Функция положительна при \(x < -2\) и \(x > 4\).

3) Функция возрастает на интервале \([1; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 1]\).

4) Минимум функции на всей области определения равен \(-9\), максимума не существует.

5) Минимум на отрезке \([-2; 0]\) равен \(-8\), максимум на том же отрезке равен 0.

2. Функция \(f(x) = \frac{5}{x+2}\) убывает на \((-2; +\infty)\), так как при \(x_2 > x_1 > -2\) выполняется

\[
x_2 + 2 > x_1 + 2 > 0, \quad \frac{1}{x_2 + 2} < \frac{1}{x_1 + 2}, \quad 5 \cdot \frac{1}{x_2 + 2} < 5 \cdot \frac{1}{x_1 + 2}.
\]

Утверждение доказано.

3. Для функции \(f(x) = \sqrt{4 — x^2}\):

Область значений определяется из условий

\[
x^2 \geq 0, \quad 4 — x^2 \leq 4,
\]

следовательно,

\[
0 \leq \sqrt{4 — x^2} \leq 2,
\]

а значит область значений — от 2 до 4.

Ответ: 2, 4.

4. Функция \(g(x) = 3x — 1\) убывает, так как для любых \(x_2 > x_1\):

\[
3x_2 > 3x_1, \quad 3x_2 — 1 > 3x_1 — 1, \quad g(x_2) > g(x_1),
\]

следовательно,

\[
f(g(x_2)) < f(g(x_1)).
\]

Ответ: убывает.

5. Уравнение \(x^3 + 4\sqrt{2x + 11} = 11\) преобразуется к виду

\[
x^3 — 11 = -4 \sqrt{2x + 11}.
\]

При \(x \geq -5.5\):

\(f(x) = x^3 — 11\) возрастает, \(g(x) = -4 \sqrt{2x + 11}\) убывает.

Решение единственное, проверяем при \(x = -1\):

\[
f(-1) = (-1)^3 — 11 = -12,
\]
\[
g(-1) = -4 \sqrt{11 — 2} = -12.
\]

Ответ: \(-1\).

1) Функция равна нулю при \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 4\). Это значит, что при этих значениях \(x\) функция обращается в ноль.

2) Функция положительна при \(x < -2\) и \(x > 4\). Для проверки знака функции рассмотрим интервалы, на которых функция принимает положительные значения.

3) Функция возрастает на интервале \([1; +\infty)\) и убывает на интервале \((-\infty; 1]\). Это можно проверить, исследуя знак производной функции на указанных интервалах.

4) Минимум функции на всей области определения равен \(-9\), максимума не существует. Минимальное значение достигается в точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный, максимума в области определения нет.

5) Минимум на отрезке \([-2; 0]\) равен \(-8\), максимум на том же отрезке равен 0. Значения функции на концах отрезка и в критических точках позволяют определить экстремумы на данном участке.

2. Функция \(f(x) = \frac{5}{x+2}\) убывает на интервале \((-2; +\infty)\). При \(x_2 > x_1 > -2\) выполняется неравенство \(x_2 + 2 > x_1 + 2 > 0\), следовательно, \(\frac{1}{x_2 + 2} < \frac{1}{x_1 + 2}\). Умножая обе части на положительное число 5, получаем \(5 \cdot \frac{1}{x_2 + 2} < 5 \cdot \frac{1}{x_1 + 2}\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), что доказывает убывание функции на данном интервале.

3. Для функции \(f(x) = \sqrt{4 — x^2}\) область значений определяется из условий \(x^2 \geq 0\) и \(4 — x^2 \geq 0\). Из второго условия следует \(x^2 \leq 4\), то есть \(x \in [-2; 2]\). Значения функции лежат в диапазоне от 0 до 2, так как подкоренное выражение неотрицательно и максимум достигается при \(x=0\), где \(f(0) = \sqrt{4} = 2\). Таким образом, область значений функции — от 0 до 2.

4. Функция \(g(x) = 3x — 1\) убывает, если для любых \(x_2 > x_1\) выполняется \(g(x_2) < g(x_1)\). Рассмотрим \(x_2 > x_1\). Тогда \(3x_2 > 3x_1\), и \(3x_2 — 1 > 3x_1 — 1\), следовательно, \(g(x_2) > g(x_1)\). Это означает, что функция \(g(x)\) возрастает, а не убывает. Если же в условии требуется доказать убывание функции \(f(g(x))\), и известно, что \(f\) убывает, то композиция \(f(g(x))\) будет убывать, так как \(g(x)\) возрастает.

5. Уравнение \(x^3 + 4\sqrt{2x + 11} = 11\) преобразуем к виду \(x^3 — 11 = -4 \sqrt{2x + 11}\). При \(x \geq -\frac{11}{2}\) функция \(f(x) = x^3 — 11\) возрастает, а функция \(g(x) = -4 \sqrt{2x + 11}\) убывает. Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет единственное решение. Проверим \(x = -1\):

\(f(-1) = (-1)^3 — 11 = -1 — 11 = -12\),

\(g(-1) = -4 \sqrt{2 \cdot (-1) + 11} = -4 \sqrt{9} = -12\).

Таким образом, \(x = -1\) является решением уравнения.