ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 2 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. На рисунке 5 изображён график функции \( y = f(x) \), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) \(\min(\mathbb{R}, f(x))\); \(\max(\mathbb{R}, f(x))\);
5) \(\min([-1; 0], f(x))\); \(\max([-1; 0], f(x))\).

2. Докажите, что функция \( f(x) = \frac{7}{x-5} \) убывает на промежутке \( (5; +\infty) \).

3. Найдите \(\min(D(f), f(x))\) и \(\max(D(f), f(x))\), если \( f(x) = 7 — \sqrt{9 — x^2} \).

4. Возрастающая функция \( f \) определена на множестве \(\mathbb{R}\). Возрастающей или убывающей является функция \( f(g(x)) \), если \( g(x) = 2 — 5x \)?

5. Решите уравнение \( x^3 + 3\sqrt{5x + 4} = 10 \).

1. Свойства функции:
1) \( y = 0 \) при \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \);
2) \( y > 0 \) при \(-1 < x < 3\);
3) Возрастает на \((-\infty; 1]\) и убывает на \([1; +\infty)\);
4) \(\min_{\mathbb{R}} f(x) -\) не существует и \(\max_{\mathbb{R}} f(x) = 4\);
5) \(\min_{[-1;0]} f(x) = 0\) и \(\max_{[-1;0]} f(x) = 3\);

2. Функция убывает:
\( f(x) = \frac{7}{x-5}, \quad x \in (5; +\infty); \)
Если \( x_2 > x_1 > 5 \), тогда:
\( x_2 — 5 > x_1 — 5 > 0; \)
\(\frac{1}{x_2 — 5} < \frac{1}{x_1 — 5};\)
\(7 \cdot \frac{1}{x_2 — 5} < 7 \cdot \frac{1}{x_1 — 5};\)
Утверждение доказано.

3. \( f(x) = 7 — \sqrt{9 — x^2}; \)
Область значений:
\( x^2 \geq 0, \quad 9 — x^2 \leq 9; \)
\(0 \leq \sqrt{9 — x^2} \leq 3; \)
\(4 \leq 7 — \sqrt{9 — x^2} \leq 7; \)
Ответ: 4; 7.

4. Функция возрастает:
\( D(f) = \mathbb{R}, \quad g(x) = 2 — 5x; \)
Если \( x_2 > x_1 \), тогда:
\(-5x_2 < -5x_1; \)
\(2 — 5x_2 < 2 — 5x_1; \)
\(g(x_2) < g(x_1); \)
\(f(g(x_2)) < f(g(x_1)); \)
Ответ: убывает.

5.
\( x^3 + 3\sqrt{5x + 4} = 10; \)
\( x^3 — 10 = -3\sqrt{5x + 4}; \)
Если \( x \geq -0{,}8 \), тогда:
\( f(x) = x^3 — 10 \) — возрастает;
\( g(x) = -3\sqrt{5x + 4} \) — убывает;
Есть только одно решение:
\( f(1) = 1^3 — 10 = 1 — 10 = -9; \)
\( g(1) = -3\sqrt{5 \cdot 1 + 4} = -3 \cdot 3 = -9; \)
Ответ: 1.

1. Свойства функции:

1) При \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \) подставляем в функцию и получаем \( y = 0 \), то есть корни функции: \( y = 0 \) при \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \).

2) Между корнями функция принимает положительные значения, то есть \( y > 0 \) при \(-1 < x < 3\).

3) Рассмотрим поведение функции на промежутках: на интервале \((-\infty; 1]\) функция возрастает, а на \([1; +\infty)\) — убывает.

4) Минимум функции на всей области определения не существует, то есть \(\min_{\mathbb{R}} f(x) = \emptyset\), а максимум равен 4: \(\max_{\mathbb{R}} f(x) = 4\).

5) На отрезке \([-1; 0]\) минимум функции равен 0, а максимум равен 3: \(\min_{[-1;0]} f(x) = 0\), \(\max_{[-1;0]} f(x) = 3\).

2. Функция убывает:

Функция задана формулой \( f(x) = \frac{7}{x-5} \), область определения \( x \in (5; +\infty) \).

Пусть \( x_2 > x_1 > 5 \). Тогда вычтем 5 из обеих частей неравенства: \( x_2 — 5 > x_1 — 5 > 0 \).

Обратные значения изменят знак неравенства, так как делим на положительные числа:
\(\frac{1}{x_2 — 5} < \frac{1}{x_1 — 5}\).

Умножаем обе части на 7 (положительное число), знак неравенства сохраняется:
\(7 \cdot \frac{1}{x_2 — 5} < 7 \cdot \frac{1}{x_1 — 5}\).

Получаем \( f(x_2) < f(x_1) \), что доказывает убывание функции.

3. Рассмотрим функцию \( f(x) = 7 — \sqrt{9 — x^2} \).

Область определения: подкоренное выражение неотрицательно, значит \( x^2 \geq 0 \) и \( 9 — x^2 \leq 9 \).

Значения подкоренного выражения лежат в пределах \( 0 \leq \sqrt{9 — x^2} \leq 3 \).

Тогда:
\( 7 — 3 \leq 7 — \sqrt{9 — x^2} \leq 7 — 0 \), то есть
\( 4 \leq f(x) \leq 7 \).

Ответ: 4; 7.

4. Функция возрастает:

Область определения \( D(f) = \mathbb{R} \). Задана функция \( g(x) = 2 — 5x \).

Пусть \( x_2 > x_1 \). Тогда:
\(-5x_2 < -5x_1\), так как умножение на отрицательное число меняет знак неравенства.

Добавим 2 к обеим частям:
\(2 — 5x_2 < 2 — 5x_1\).

Следовательно,
\( g(x_2) < g(x_1) \).

Так как \( f \) возрастает, то
\( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \).

Ответ: убывает.

5. Решение уравнения \( x^3 + 3\sqrt{5x + 4} = 10 \):

Перепишем уравнение:
\( x^3 — 10 = -3\sqrt{5x + 4} \).

При \( x \geq -0{,}8 \) функция
\( f(x) = x^3 — 10 \) возрастает, а функция
\( g(x) = -3\sqrt{5x + 4} \) убывает.

Проверим единственность решения, подставляя \( x = 1 \):
\( f(1) = 1^3 — 10 = 1 — 10 = -9 \);

\( g(1) = -3\sqrt{5 \cdot 1 + 4} = -3 \cdot 3 = -9 \).

Решение единственное.

Ответ: 1.