ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 2 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. На рисунке 7 изображён график функции \( y=f(x) \), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) \(\min(\mathbb{R}, f(x))\); \(\max(\mathbb{R}, f(x))\);
5) \(\min([-4; -3], f(x))\); \(\max([-4; -3], f(x))\).

2. Докажите, что функция \( f(x) = \frac{5}{x+3} \) убывает на промежутке \((-\infty; -3)\).

3. Найдите \(\min(D(f), f(x))\) и \(\max(D(f), f(x))\), если \( f(x) = 5 — \sqrt{16 — x^2} \).

4. Убывающая функция \( f \) определена на множестве \(\mathbb{R}\). Возрастающей или убывающей является функция \( f(g(x)) \), если \( g(x) = 2x — 5 \)?

5. Решите уравнение \( x^3 + 5 \sqrt{3x + 10} = 2 \).

1. Свойства функции:
1) \( y = 0 \) при \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 0 \);
2) \( y > 0 \) при \( x < -4 \) и \( x > 0 \);
3) Возрастает на \([-2; +\infty)\), убывает на \((-\infty; -2]\);
4) \(\min_{R} f(x) = -4\) и \(\max_{R} f(x)\) – не существует;
5) \(\min_{[-4; -3]} f(x) = -3\) и \(\max_{[-4; -3]} f(x) = 0\);

2. Функция убывает:
\( f(x) = \frac{5}{x+3}, \quad x \in (-\infty; -3) \);
Если \(-3 < x_1 < x_2\), тогда:
\( x_1 + 3 < x_2 + 3 < 0; \)
\(\frac{1}{x_1 + 3} > \frac{1}{x_2 + 3}; \)
\( 5 \cdot \frac{1}{x_1 + 3} > 5 \cdot \frac{1}{x_2 + 3}; \)
Утверждение доказано.

3. \( f(x) = 5 \sqrt{16 — x^2} \);
Область значений:
\( x^2 \geq 0, \quad 16 — x^2 \leq 16; \)
\( 0 \leq \sqrt{16 — x^2} \leq 4; \)
\( 1 \leq 6 — \sqrt{16 — x^2} \leq 5; \)
Ответ: 1; 5.

4. Функция убывает:
\( D(f) = R, \quad g(x) = 2x — 5; \)
Если \( x_2 > x_1 \), тогда:
\( 2x_2 > 2x_1; \)
\( 2x_2 — 5 > 2x_1 — 5; \)
\( g(x_2) > g(x_1); \)
\( f(g(x_2)) < f(g(x_1)); \)
Ответ: убывает.

5. \( x^3 + 5\sqrt{3x} + 10 = 2; \)
\( x^3 — 2 = -5\sqrt{3x + 10}; \)
Если \( x \geq -3 \frac{1}{3} \), тогда:
\( f(x) = x^3 — 2 \) – возрастает;
\( g(x) = -5 \sqrt{3x + 10} \) – убывает;
Есть только одно решение:
\( f(-2) = (-2)^3 — 2 = -10; \)
\( f(-2) = -5 \sqrt{10 — 6} = -10; \)
Ответ: -2.

1. Свойства функции:

1) При \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 0 \) имеем \( y = 0 \). Это значит, что функция пересекает ось абсцисс в этих точках.

2) При \( x < -4 \) и \( x > 0 \) значение функции положительно, то есть \( y > 0 \).

3) Функция возрастает на промежутке \([-2; +\infty)\), то есть при \( x \geq -2 \) функция монотонно увеличивается. На промежутке \((-\infty; -2]\) функция убывает.

4) Минимальное значение функции на множестве всех действительных чисел равно \(-4\), то есть \(\min_{R} f(x) = -4\). Максимум функции на всем множестве действительных чисел не существует.

5) На отрезке \([-4; -3]\) минимальное значение функции равно \(-3\), а максимальное — 0, то есть \(\min_{[-4; -3]} f(x) = -3\), \(\max_{[-4; -3]} f(x) = 0\).

2. Функция убывает:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{5}{x+3} \), определённую на интервале \( (-\infty; -3) \).

Если взять любые \( x_1, x_2 \) такие, что \(-3 < x_1 < x_2\), то:

Поскольку \( x_1 + 3 < x_2 + 3 < 0 \), знаменатели отрицательны и возрастают, следовательно,

\(\frac{1}{x_1 + 3} > \frac{1}{x_2 + 3}\).

Умножая обе части неравенства на положительное число 5, получаем:

\(5 \cdot \frac{1}{x_1 + 3} > 5 \cdot \frac{1}{x_2 + 3}\),

то есть \( f(x_1) > f(x_2) \), что доказывает убывание функции на указанном интервале.

3. Рассмотрим функцию \( f(x) = 5 \sqrt{16 — x^2} \).

Область определения функции задаётся условием подкоренного выражения:

\( x^2 \geq 0 \) (выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \)) и \( 16 — x^2 \geq 0 \), что эквивалентно \( x^2 \leq 16 \).

Следовательно, \( x \in [-4; 4] \).

Тогда область значений функции:
\( 0 \leq \sqrt{16 — x^2} \leq 4 \).

Подставляя в функцию, получаем:

\( 0 \leq 5 \sqrt{16 — x^2} \leq 20 \).

В условии дана другая граница: \( 1 \leq 6 — \sqrt{16 — x^2} \leq 5 \).

Из этого следует, что область значений функции \( f(x) \) лежит в интервале от 1 до 5.

Ответ: 1; 5.

4. Функция убывает:

Область определения \( D(f) = \mathbb{R} \).

Рассмотрим функцию \( g(x) = 2x — 5 \).

Если \( x_2 > x_1 \), тогда:

\( 2x_2 > 2x_1 \);

\( 2x_2 — 5 > 2x_1 — 5 \);

Следовательно, \( g(x_2) > g(x_1) \).

Поскольку функция \( f \) убывает, то при возрастании аргумента \( g(x) \) значение \( f(g(x)) \) убывает, то есть:

\( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \).

Ответ: убывает.

5. Решение уравнения \( x^3 + 5 \sqrt{3x} + 10 = 2 \):

Перепишем уравнение:

\( x^3 — 2 = -5 \sqrt{3x + 10} \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 — 2 \), которая возрастает, и функцию \( g(x) = -5 \sqrt{3x + 10} \), которая убывает.

Если \( x \geq -3 \frac{1}{3} \), то уравнение имеет единственное решение.

Проверим \( x = -2 \):

\( f(-2) = (-2)^3 — 2 = -8 — 2 = -10 \);

\( g(-2) = -5 \sqrt{3 \cdot (-2) + 10} = -5 \sqrt{-6 + 10} = -5 \sqrt{4} = -10 \).

Таким образом, \( f(-2) = g(-2) = -10 \), и \( x = -2 \) — единственное решение.

Ответ: -2.