ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 20 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. После двух последовательных снижений цены на 20% футболка стала стоить 256 р. Найдите первоначальную цену футболки.

2. Есть 160 г раствора иода в спирте, содержащего 10% иода. Сколько граммов спирта надо долить в раствор, чтобы полученный раствор содержал 8% иода?

3. Вкладчик положил в банк 60 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а в следующем году банковская ставка была увеличена на 2%. В конце второго года на счёте оказалось 66 144 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

1. Пусть начальная цена \(x\) р:
\(x \cdot \left(1 — \frac{20}{100}\right) \cdot \left(1 — \frac{20}{100}\right) = 256;\)
\(x \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = 256,\)
\(\frac{16}{25} x = 256;\)
\(\frac{1}{25} x = 16,\)
\(x = 400;\)
Ответ: 400 р.

2. Пусть долили \(x\) г спирта:
\((160 + x) \cdot \frac{8}{100} = 160 \cdot \frac{10}{100};\)
\(\frac{64}{5} + \frac{2}{25} x = 16,\)
\(\frac{2}{25} x = \frac{16}{5};\)
\(x = \frac{16}{5} \cdot \frac{25}{2} = 40;\)
Ответ: 40 г.

3. Пусть начальная ставка равна \(x \%\):
\(60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x + 2}{100}\right) = 66\,144;\)
\(6 \cdot (100 + x) \cdot (100 + x + 2) = 66\,144;\)
\((x + 100)(x + 102) = 11\,024;\)
\(x^2 + 102x + 100x + 10\,200 = 11\,024;\)
\(x^2 + 202x — 824 = 0;\)
\(D = 202^2 + 4 \cdot 824 = 40\,804 + 3\,296 = 44\,100,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-202 — 210}{2} = -206\) и \(x_2 = \frac{-202 + 210}{2} = 4;\)
Ответ: 4 %.

1. Рассмотрим задачу о снижении цены футболки. Пусть первоначальная цена футболки равна \(x\) рублей. После первого снижения цены на 20% цена станет равна \(x \cdot \left(1 — \frac{20}{100}\right) = x \cdot \frac{4}{5}\). Это значит, что цена уменьшилась на одну пятую от изначальной. Затем цена снижается ещё раз на 20%, но уже от новой цены, то есть от \(x \cdot \frac{4}{5}\). После второго снижения цена будет равна \(x \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = x \cdot \frac{16}{25}\).

Из условия известно, что после двух таких последовательных снижений цена стала 256 рублей. Значит, уравнение для нахождения \(x\) будет:
\(x \cdot \frac{16}{25} = 256.\)
Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на обратное к \(\frac{16}{25}\), то есть на \(\frac{25}{16}\):
\(x = 256 \cdot \frac{25}{16}.\)
Выполним умножение и деление:
\(256 \div 16 = 16,\)
\(16 \cdot 25 = 400.\)
Таким образом, первоначальная цена футболки была 400 рублей.

2. Во второй задаче рассматривается раствор иода в спирте. Изначально имеется 160 г раствора с содержанием иода 10%. Это значит, что масса иода в растворе равна \(160 \cdot \frac{10}{100} = 16\) г. Пусть необходимо добавить \(x\) граммов чистого спирта, который не содержит иода, чтобы концентрация иода стала 8%. После добавления спирта общий вес раствора станет \(160 + x\) г, а масса иода останется прежней — 16 г. Тогда новая концентрация иода будет:
\(\frac{16}{160 + x} = \frac{8}{100}.\)
Перепишем это уравнение в виде:
\((160 + x) \cdot \frac{8}{100} = 16.\)
Умножим обе части уравнения на 100:
\(8(160 + x) = 1600.\)
Раскроем скобки:
\(1280 + 8x = 1600.\)
Вычислим \(8x\):
\(8x = 1600 — 1280 = 320.\)
Найдём \(x\):
\(x = \frac{320}{8} = 40.\)
Значит, надо добавить 40 граммов спирта, чтобы концентрация иода стала 8%.

3. В третьей задаче речь идёт о банковском вкладе. Вкладчик положил 60 000 рублей под некоторый годовой процент \(x\%\). За первый год сумма на счёте увеличилась на \(x\%\), то есть стала равна \(60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\). Во второй год ставка увеличилась на 2%, то есть стала \(x + 2\%\). Тогда сумма на счёте после второго года равна:
\(60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x + 2}{100}\right) = 66\,144.\)
Для удобства умножим обе части уравнения на 10000:
\(60\,000 \cdot \frac{(100 + x)}{100} \cdot \frac{(100 + x + 2)}{100} = 66\,144\)
эквивалентно
\(6 \cdot (100 + x) \cdot (102 + x) = 66\,144.\)
Разделим обе части на 6:
\((100 + x)(102 + x) = \frac{66\,144}{6} = 11\,024.\)
Раскроем скобки:
\(x^2 + 102x + 100x + 10\,200 = 11\,024.\)
Сложим коэффициенты при \(x\):
\(x^2 + 202x + 10\,200 = 11\,024.\)
Перенесём 11 024 в левую часть:
\(x^2 + 202x + 10\,200 — 11\,024 = 0,\)
\(x^2 + 202x — 824 = 0.\)
Рассчитаем дискриминант:
\(D = 202^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-824) = 40\,804 + 3\,296 = 44\,100.\)
Найдём корни квадратного уравнения:
\(x = \frac{-202 \pm \sqrt{44\,100}}{2} = \frac{-202 \pm 210}{2}.\)
Первый корень:
\(x_1 = \frac{-202 — 210}{2} = \frac{-412}{2} = -206\) (отрицательный, не подходит для процента).
Второй корень:
\(x_2 = \frac{-202 + 210}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)
Следовательно, ставка первого года составляла 4%.