ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 20 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. После двух последовательных повышений цены на 30% шкаф стал стоить 5070 р. Найдите первоначальную цену шкафа.

2. Сколько килограммов воды надо добавить к 7,5 кг раствора, содержащего 20% соли, чтобы получить раствор, содержащий 12% соли?

3. Вкладчик положил в банк 40000 р. За первый год ему был начислен некоторый процент годовых, а во второй год банковская ставка была уменьшена на 6%. В конце второго года на счёте оказалось 45760 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

1. Пусть начальная цена \(x\) р:
\(x \cdot \left(1 + \frac{30}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 5070;\)
\(x \cdot \frac{13}{10} \cdot \frac{13}{10} = 5070,\quad \frac{169}{100} x = 5070;\)
\(\frac{1}{100} x = 30,\quad x = 3000;\)
Ответ: 3000 р.

2. Пусть долили \(x\) кг воды:
\((7,5 + x) \cdot \frac{12}{100} = 7,5 \cdot \frac{20}{100};\)
\(\frac{9}{10} + \frac{3}{25} x = \frac{3}{2}, \quad \frac{3}{25} x = \frac{3}{5};\)
\(x = \frac{3}{5} \cdot \frac{25}{3} = 5;\)
Ответ: 5 кг.

3. Пусть начальная ставка равна \(x\%\):
\(40000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x — 6}{100}\right) = 45760;\)
\(4 \cdot (100 + x) \cdot (100 + x — 6) = 45760;\)
\((x + 100)(x + 94) = 11440;\)
\(x^2 + 94x + 100x + 9400 = 11440;\)
\(x^2 + 194x — 2040 = 0;\)
\(D = 194^2 + 4 \cdot 2040 = 37636 + 8160 = 45796,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-194 — 214}{2} = -204\) и \(x_2 = \frac{-194 + 214}{2} = 10;\)
Ответ: 10 %.

Рассмотрим задачу №3, где дана начальная ставка равная \(x\%\). Сначала в условии указано, что сумма 40000 рублей увеличивается дважды: сначала на \(x\%\), а потом на \((x-6)\%\). Это значит, что итоговая сумма будет равна произведению исходной суммы на коэффициенты увеличения. Первый коэффициент — это \(1 + \frac{x}{100}\), так как прибавляем \(x\%\) к 100%, а второй коэффициент — это \(1 + \frac{x-6}{100}\), так как прибавляем \((x-6)\%\). Таким образом, уравнение примет вид:
\(40000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x-6}{100}\right) = 45760.\)

Далее упростим выражение. Вынесем множитель 40000 и преобразуем скобки:
\(40000 \cdot \left( \frac{100 + x}{100} \right) \cdot \left( \frac{100 + x — 6}{100} \right) = 45760.\)
Перемножим числители и знаменатели:
\(40000 \cdot \frac{(100 + x)(94 + x)}{100 \cdot 100} = 45760.\)
Так как \(40000 = 4 \cdot 10000\), то:
\(4 \cdot 10000 \cdot \frac{(100 + x)(94 + x)}{10000} = 45760.\)
Сократим 10000:
\(4 \cdot (100 + x)(94 + x) = 45760.\)

Теперь раскроем скобки:
\((x + 100)(x + 94) = x^2 + 94x + 100x + 9400 = x^2 + 194x + 9400.\)
Подставим в уравнение:
\(4 \cdot (x^2 + 194x + 9400) = 45760.\)
Раскроем скобки:
\(4x^2 + 776x + 37600 = 45760.\)
Перенесем все в левую часть:
\(4x^2 + 776x + 37600 — 45760 = 0,\)
что даёт
\(4x^2 + 776x — 8160 = 0.\)
Поделим уравнение на 4 для упрощения:
\(x^2 + 194x — 2040 = 0.\)

Для решения квадратного уравнения \(x^2 + 194x — 2040 = 0\) используем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 194^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2040) = 37636 + 8160 = 45796.\)
Извлекаем корень из дискриминанта:
\(\sqrt{45796} = 214.\)
Теперь находим корни по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-194 \pm 214}{2}.\)
Первый корень:
\(x_1 = \frac{-194 — 214}{2} = \frac{-408}{2} = -204.\)
Второй корень:
\(x_2 = \frac{-194 + 214}{2} = \frac{20}{2} = 10.\)

Так как ставка в процентах не может быть отрицательной, отбрасываем \(x_1 = -204\%\) и принимаем ответ: \(x = 10\%\). Таким образом, начальная ставка равна 10%.