ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 20 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. После двух последовательных снижений цены на 30% комнатные тапочки стали стоить 784 р. Найдите первоначальную цену тапочек.

2. Морская вода содержит 8% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 60 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 5%?

3. Банк выдал предпринимателю кредит в сумме 500\,000 р. на 2 года под некоторый процент годовых. Через год банковская ставка была уменьшена на 2%. В конце второго года предприниматель вернул банку 708\,000 р. Под какой процент был выдан кредит в первый год?

1. Пусть начальная цена \( x \) р:
\( x \cdot \left(1-\frac{30}{100}\right) \cdot \left(1-\frac{30}{100}\right) = 784; \)
\( x \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = 784, \quad \frac{49}{100} x = 784; \)
\(\frac{1}{100} x = 16, \quad x = 1600; \)
Ответ: 1600 р.

2. Пусть долили \( x \) кг воды:
\((60 + x) \cdot \frac{5}{100} = 60 \cdot \frac{8}{100}; \)
\(3 + \frac{1}{20} x = \frac{24}{5}, \quad \frac{1}{20} x = \frac{9}{5}; \)
\( x = \frac{9}{5} \cdot 20 = 36; \)
Ответ: 36 кг.

3. Пусть начальная ставка равна \( x \% \):
\( 500000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x-2}{100}\right) = 708000; \)
\( 50 \cdot (100 + x) \cdot (100 + x — 2) = 708000; \)
\((x + 100)(x + 98) = 14160; \)
\( x^2 + 98x + 100x + 9800 = 14160; \)
\( x^2 + 198x — 4360 = 0; \)
\( D = 198^2 + 4 \cdot 4360 = 39204 + 17440 = 56644, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-198 — 238}{2} = -218 \) и \( x_2 = \frac{-198 + 238}{2} = 20; \)
Ответ: 20 %.

1. Рассмотрим задачу о нахождении начальной цены товара, обозначенной через \( x \) рублей. В условии говорится, что цена товара сначала уменьшилась на 30%, а затем ещё раз уменьшилась на 30% от новой цены. Это означает, что от начальной цены \( x \) сначала остаётся \( 1 — \frac{30}{100} = \frac{7}{10} \) части, а затем от этой уменьшенной цены снова остаётся \( \frac{7}{10} \) части. Таким образом, итоговая цена равна произведению начальной цены на два таких коэффициента: \( x \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} \). В задаче сказано, что итоговая цена равна 784 рублям, то есть
\( x \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = 784 \).
Умножая дроби, получаем \( \frac{49}{100} x = 784 \). Чтобы найти \( x \), нужно обе части уравнения умножить на обратное значение коэффициента, то есть на \( \frac{100}{49} \). Это даёт
\( x = 784 \cdot \frac{100}{49} \).
Проводим деление: \( \frac{784}{49} = 16 \), следовательно,
\( x = 16 \cdot 100 = 1600 \).
Итог: начальная цена товара была 1600 рублей.

2. Во второй задаче нужно определить, сколько килограммов воды добавили к раствору. Обозначим количество добавленной воды через \( x \) кг. Изначально в растворе было 60 кг, и в нём содержится 5% какого-то вещества. После добавления воды общий объём стал \( 60 + x \) кг, а процент вещества уменьшился до 8%. Количество вещества в растворе сохраняется, поэтому количество вещества в исходном растворе равно количеству вещества в новом растворе:
\( (60 + x) \cdot \frac{5}{100} = 60 \cdot \frac{8}{100} \).
Раскроем скобки:
\( \frac{5}{100} \cdot 60 + \frac{5}{100} \cdot x = \frac{8}{100} \cdot 60 \),
что даёт
\( 3 + \frac{1}{20} x = \frac{24}{5} \).
Переносим 3 в правую часть уравнения:
\( \frac{1}{20} x = \frac{24}{5} — 3 \).
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{24}{5} — \frac{15}{5} = \frac{9}{5} \),
следовательно,
\( \frac{1}{20} x = \frac{9}{5} \).
Чтобы найти \( x \), умножаем обе части на 20:
\( x = \frac{9}{5} \cdot 20 = 36 \).
Ответ: добавили 36 кг воды.

3. В третьей задаче рассматривается изменение процентной ставки, обозначенной через \( x \% \). Исходная сумма вклада — 500000 рублей. Ставка сначала увеличивается на \( \frac{x}{100} \), а затем на \( \frac{x-2}{100} \). Итоговая сумма после двух изменений равна 708000 рублей. Запишем уравнение:
\( 500000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x — 2}{100}\right) = 708000 \).
Упростим множители:
\( \left(1 + \frac{x}{100}\right) = \frac{100 + x}{100} \),
\( \left(1 + \frac{x — 2}{100}\right) = \frac{100 + x — 2}{100} = \frac{98 + x}{100} \).
Подставим в уравнение:
\( 500000 \cdot \frac{100 + x}{100} \cdot \frac{98 + x}{100} = 708000 \).
Домножим обе части на \( 100 \cdot 100 = 10000 \), чтобы избавиться от знаменателей:
\( 500000 \cdot (100 + x) \cdot (98 + x) = 708000 \cdot 10000 \).
Сократим 500000 и 10000:
\( 50 \cdot (100 + x) \cdot (98 + x) = 708000 \).
Разложим произведение:
\( (100 + x)(98 + x) = 100 \cdot 98 + 100x + 98x + x^2 = 9800 + 198x + x^2 \).
Подставим в уравнение:
\( 50 \cdot (x^2 + 198x + 9800) = 708000 \).
Разделим обе части на 50:
\( x^2 + 198x + 9800 = \frac{708000}{50} = 14160 \).
Переносим 14160 в левую часть:
\( x^2 + 198x + 9800 — 14160 = 0 \),
то есть
\( x^2 + 198x — 4360 = 0 \).
Решим квадратное уравнение по формуле:
\( D = b^2 — 4ac = 198^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4360) = 39204 + 17440 = 56644 \).
Находим корни:
\( x_1 = \frac{-198 — \sqrt{56644}}{2} \),
\( x_2 = \frac{-198 + \sqrt{56644}}{2} \).
Вычислим корни:
\( \sqrt{56644} \approx 238 \),
тогда
\( x_1 = \frac{-198 — 238}{2} = \frac{-436}{2} = -218 \) (отрицательный корень не подходит для процента),
\( x_2 = \frac{-198 + 238}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).
Ответ: начальная ставка равна 20%.