ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 20 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. После двух последовательных повышений цены на 20% стол стал стоить 2160 р. Найдите первоначальную цену стола.

2. Сплав меди и олова массой 60 кг содержит 35% олова. Сколько олова надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?

3. Вкладчик положил в банк 50 000 р. За первый год ему был начислен некоторый процент годовых, а во второй год банковская ставка была увеличена на 3%. В конце второго года на счёте оказалось 67 850 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

1. Пусть начальная цена \( x \) р:
\( x \cdot \left(1 + \frac{20}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{20}{100}\right) = 2160; \)
\( x \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} = 2160, \quad \frac{36}{25} x = 2160; \)
\( \frac{1}{25} x = 60, \quad x = 1500; \)
Ответ: 1500 р.

2. Пусть добавили \( x \) кг олова:
\( (60 + x) \cdot \frac{40}{100} = 60 \cdot \frac{35}{100} + x; \)
\( 24 + \frac{4}{10} x = 21 + x, \quad \frac{6}{10} x = 3; \)
\( x = 3 \cdot \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5; \)
Ответ: 5 кг.

3. Пусть начальная ставка равна \( x \% \):
\( 50\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x + 3}{100}\right) = 67\,850; \)
\( 5 \cdot (100 + x) \cdot (100 + x + 3) = 67\,850; \)
\( (x + 100)(x + 103) = 13\,570; \)
\( x^2 + 103x + 100x + 10\,300 = 13\,570; \)
\( x^2 + 203x — 3\,270 = 0; \)
\( D = 203^2 + 4 \cdot 3\,270 = 41\,209 + 13\,080 = 54\,289, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-203 — 233}{2} = -218 \) и \( x_2 = \frac{-203 + 233}{2} = 15; \)
Ответ: 15 %.

1. Рассмотрим задачу о нахождении начальной цены товара. Пусть изначальная цена равна \( x \) рублей. Из условия известно, что цена сначала увеличивается на 20%, а затем еще раз увеличивается на 20%. Чтобы найти конечную цену, нужно последовательно применить оба увеличения. Сначала цена увеличивается на 20%, что эквивалентно умножению на \( 1 + \frac{20}{100} = 1.2 \). После этого новая цена снова увеличивается на 20%, то есть умножается на \( 1.2 \) еще раз. Таким образом, итоговая цена выражается формулой \( x \cdot 1.2 \cdot 1.2 = 2160 \).

Далее упростим выражение: \( 1.2 \cdot 1.2 = \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{25} \). Тогда уравнение примет вид \( x \cdot \frac{36}{25} = 2160 \). Чтобы найти \( x \), нужно обе стороны уравнения умножить на обратное значение коэффициента, то есть на \( \frac{25}{36} \). Получаем \( x = 2160 \cdot \frac{25}{36} \). Сократим и вычислим: \( \frac{2160}{36} = 60 \), следовательно \( x = 60 \cdot 25 = 1500 \). Значит, начальная цена товара была 1500 рублей.

Ответ: 1500 р.

2. Рассмотрим задачу с добавлением олова. Пусть вначале имеется 60 кг олова, и к нему добавляют \( x \) кг. После добавления количество олова становится \( 60 + x \) кг. Из условия известно, что после добавления олова содержание олова в сплаве составляет 40%. Это можно записать как \( (60 + x) \cdot \frac{40}{100} \). Также известно, что первоначально в 60 кг содержалось 35% олова, а после добавления олова количество олова увеличилось на \( x \) кг. Значит, количество олова было \( 60 \cdot \frac{35}{100} \), и к нему добавили \( x \).

Приравниваем количество олова после добавления к сумме олова до добавления и добавленного олова:
\( (60 + x) \cdot \frac{40}{100} = 60 \cdot \frac{35}{100} + x \).
Раскроем скобки:
\( 24 + \frac{4}{10} x = 21 + x \).
Переносим все члены с \( x \) в одну сторону:
\( \frac{4}{10} x — x = 21 — 24 \),
что дает
\( -\frac{6}{10} x = -3 \),
или
\( \frac{6}{10} x = 3 \).
Отсюда \( x = 3 \cdot \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5 \). Значит, добавлено 5 кг олова.

Ответ: 5 кг.

3. Рассмотрим задачу о вычислении начальной процентной ставки. Пусть начальная ставка равна \( x \% \). Из условия известно, что сумма вклада 50 000 рублей увеличивается сначала на \( x \% \), а затем на \( (x + 3) \% \), и итоговая сумма равна 67 850 рублей. Запишем это в виде уравнения:
\( 50\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x + 3}{100}\right) = 67\,850 \).

Домножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от дробей:
\( 5 \cdot (100 + x) \cdot (100 + x + 3) = 67\,850 \).
Разделим обе части на 5:
\( (100 + x)(103 + x) = \frac{67\,850}{5} = 13\,570 \).

Раскроем скобки:
\( x^2 + 103x + 100x + 10\,300 = 13\,570 \),
что упрощается до
\( x^2 + 203x + 10\,300 = 13\,570 \).
Вынесем все в одну сторону:
\( x^2 + 203x + 10\,300 — 13\,570 = 0 \),
или
\( x^2 + 203x — 3\,270 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:
\( D = 203^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3\,270) = 41\,209 + 13\,080 = 54\,289 \).

Вычислим корни по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{-203 \pm \sqrt{54\,289}}{2} \).
Поскольку \( \sqrt{54\,289} = 233 \), получаем:
\( x_1 = \frac{-203 — 233}{2} = \frac{-436}{2} = -218 \) (отрицательное значение не подходит для процента),
\( x_2 = \frac{-203 + 233}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).

Ответ: 15 %.