ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 22 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном \( n \) выполняется равенство
\( 1 + 5 + 9 + \cdots + (4n — 3) = n(2n — 1). \)

2. Докажите неравенство
\( 4^n > 3n + 2, \) где \( n \in \mathbb{N}, n \ge 2. \)

3. Докажите, что для любого натурального \( n \) значение выражения
\( 21^n + 50 \cdot 4^n \) кратно 17.

1. Доказать равенство при всех \( n \):
\( 1 + 5 + 9 + \cdots + 4n — 3 = n(2n — 1); \)
Если \( n = 1 \), тогда:
\( 1 \cdot (2 \cdot 1 — 1) = 1 \cdot 1 = 1; \)
Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( 1 + 5 + \cdots + (4k — 3) + 4(k + 1) — 3 = \)
\( = k(2k — 1) + 4k + 1 = 2k^2 — k + 4k + 1 = \)
\( = 2k^2 + 3k + 1 = (k + 1)(2k + 1) = \)
\( = (k + 1)(2k + 2 — 1) = (k + 1)(2(k + 1) — 1); \)
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\( 4^n > 3n + 2, \quad n \ge 2; \)
Если \( n = 2 \), тогда:
\( 4^2 = 16, \quad 3 \cdot 2 + 2 = 8; \)
Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( 4^{k+1} — 3(k + 1) — 2 = \)
\( = 4 \cdot 4^k — 3k — 3 — 2 = \)
\( = 4 \cdot 4^k — 3k — 5 = \)
\( = 4(4^k — 3k — 2) + 9k + 3; \)
Что и требовалось доказать.

3. Доказать кратность:
\( (21^n + 50 \cdot 4^n) : 17; \)
Если \( n = 1 \), тогда:
\( 21 + 50 \cdot 4 = 221 : 17; \)
Если \( n = k + 1 \), тогда:
\( 21^{k+1} + 50 \cdot 4^{k+1} = \)
\( = 21 \cdot 21^k + 50 \cdot 4 \cdot 4^k = \)
\( = 4(21^k + 50 \cdot 4^k) + 17 \cdot 21^k; \)
Что и требовалось доказать.

1. Доказать равенство при всех \( n \):
Рассмотрим сумму: \( 1 + 5 + 9 + \cdots + (4n — 3) \).
Предположим, что для некоторого \( n \) верно равенство
\( 1 + 5 + 9 + \cdots + (4n — 3) = n(2n — 1). \)

Проверим базу индукции при \( n = 1 \):
\( 1 \cdot (2 \cdot 1 — 1) = 1 \cdot 1 = 1, \)
а сумма равна \( 1 \), следовательно, база верна.

Пусть утверждение верно для \( n = k \), то есть:
\( 1 + 5 + \cdots + (4k — 3) = k(2k — 1). \)

Докажем для \( n = k + 1 \):
\( 1 + 5 + \cdots + (4k — 3) + (4(k + 1) — 3) = k(2k — 1) + 4(k + 1) — 3. \)
Раскроем скобки:
\( k(2k — 1) + 4k + 4 — 3 = 2k^2 — k + 4k + 1 = 2k^2 + 3k + 1. \)
Вынесем общий множитель:
\( (k + 1)(2k + 1) = (k + 1)(2(k + 1) — 1). \)
Таким образом, равенство выполнено для \( n = k + 1 \).
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\( 4^n > 3n + 2, \quad n \ge 2. \)

Проверим базу индукции при \( n = 2 \):
\( 4^2 = 16, \quad 3 \cdot 2 + 2 = 8, \)
следовательно, \( 16 > 8 \), база верна.

Пусть неравенство верно для \( n = k \), то есть:
\( 4^k > 3k + 2. \)

Докажем для \( n = k + 1 \):
\( 4^{k+1} — 3(k + 1) — 2 = 4 \cdot 4^k — 3k — 3 — 2 = 4 \cdot 4^k — 3k — 5. \)
Перепишем:
\( = 4(4^k — 3k — 2) + 9k + 3. \)
По предположению индукции \( 4^k — 3k — 2 > 0 \), а \( 9k + 3 > 0 \) при \( k \ge 2 \), значит
\( 4^{k+1} — 3(k + 1) — 2 > 0 \), что и требовалось доказать.

3. Доказать кратность:
\( (21^n + 50 \cdot 4^n) : 17. \)

Проверим базу при \( n = 1 \):
\( 21 + 50 \cdot 4 = 21 + 200 = 221, \)
и \( 221 : 17 = 13 \), делится без остатка.

Пусть утверждение верно для \( n = k \), то есть
\( 21^k + 50 \cdot 4^k \) делится на 17.

Докажем для \( n = k + 1 \):
\( 21^{k+1} + 50 \cdot 4^{k+1} = 21 \cdot 21^k + 50 \cdot 4 \cdot 4^k = \)
\( = 4(21^k + 50 \cdot 4^k) + 17 \cdot 21^k. \)
Так как по предположению индукции \( 21^k + 50 \cdot 4^k \) делится на 17,
то и \( 4(21^k + 50 \cdot 4^k) \) делится на 17, а \( 17 \cdot 21^k \) очевидно делится на 17.
Следовательно, сумма делится на 17.
Что и требовалось доказать.