ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 22 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном \(n\) выполняется равенство
\(1 + 11 + 21 + \cdots + (10n — 9) = n(5n — 4).\)

2. Докажите неравенство
\(5^n > 4n + 3,\) где \(n \in \mathbb{N}, n \geq 2.\)

3. Докажите, что для любого натурального \(n\) значение выражения
\((24^n + 37 \cdot 5^n)\) кратно 19.

1. Доказать равенство при всех \(n\):
\(1 + 11 + 21 + \cdots + (10n — 9) = n(5n — 4);\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(1 \cdot (5 \cdot 1 — 4) = 1 \cdot 1 = 1;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(1 + 11 + \cdots + (10k — 9) + 10(k + 1) — 9 =\)
\(= k(5k — 4) + 10k + 1 = 5k^2 — 4k + 10k + 1 =\)
\(= 5k^2 + 6k + 1 = (k + 1)(5k + 1) =\)
\(= (k + 1)(5k + 5 — 4) = (k + 1)(5(k + 1) — 4);\)
Что и требовалось доказать.

2. Доказать неравенство:
\(5^n > 4n + 3, \quad n \geq 2;\)
Если \(n = 2\), тогда:
\(5^2 = 25, \quad 4 \cdot 2 + 3 = 11;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(5^{k+1} — 4(k + 1) — 3 =\)
\(= 5 \cdot 5^k — 4k — 4 — 3 =\)
\(= 5 \cdot 5^k — 4k — 7 =\)
\(= 5(5^k — 4k — 3) + 16k + 8;\)
Что и требовалось доказать.

3. Доказать кратность:
\((24^n + 37 \cdot 5^n) : 19;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\(24 + 37 \cdot 5 = 209 : 19;\)
Если \(n = k + 1\), тогда:
\(24^{k+1} + 37 \cdot 5^{k+1} =\)
\(= 24 \cdot 24^k + 37 \cdot 5 \cdot 5^k =\)
\(= 5(24^k + 37 \cdot 5^k) + 19 \cdot 24^k;\)
Что и требовалось доказать.

Доказать равенство при всех \(n\):
\(1 + 11 + 21 + \cdots + (10n — 9) = n(5n — 4);\)

Если \(n = 1\), тогда:
левая часть равенства: \(1\),
правая часть: \(1 \cdot (5 \cdot 1 — 4) = 1 \cdot 1 = 1\).
Левая и правая части равны, значит, равенство верно при \(n=1\).

Пусть равенство верно при \(n = k\), то есть:
\(1 + 11 + 21 + \cdots + (10k — 9) = k(5k — 4).\)

Докажем, что оно верно при \(n = k + 1\):
левая часть при \(n = k + 1\) равна
\(
1 + 11 + 21 + \cdots + (10k — 9) + (10(k + 1) — 9).
\)
По предположению индукции сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k(5k — 4)\), значит:
\(
k(5k — 4) + 10(k + 1) — 9 = k(5k — 4) + 10k + 10 — 9 = k(5k — 4) + 10k + 1.
\)
Раскроем скобки:
\(
5k^2 — 4k + 10k + 1 = 5k^2 + 6k + 1.
\)
Выделим общий множитель:
\(
5k^2 + 6k + 1 = (k + 1)(5k + 1).
\)
Перепишем:
\(
(k + 1)(5k + 1) = (k + 1)(5k + 5 — 4) = (k + 1)(5(k + 1) — 4).
\)
Таким образом, равенство верно при \(n = k + 1\).

По принципу математической индукции равенство доказано для всех натуральных \(n\).

Доказать неравенство:
\(5^n > 4n + 3, \quad n \geq 2;\)

Проверим при \(n = 2\):
левая часть: \(5^2 = 25\),
правая часть: \(4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11\).
\(25 > 11\), значит, неравенство верно при \(n=2\).

Пусть неравенство верно при \(n = k\), то есть:
\(
5^k > 4k + 3.
\)

Докажем для \(n = k + 1\):
левая часть:
\(
5^{k+1} = 5 \cdot 5^k,
\)
правая часть:
\(
4(k + 1) + 3 = 4k + 4 + 3 = 4k + 7.
\)
Вычислим разность:
\(
5^{k+1} — (4(k + 1) + 3) = 5 \cdot 5^k — 4k — 7.
\)
Перепишем:
\(
= 5 \cdot 5^k — 4k — 7 = 5 \cdot 5^k — 4k — 4 — 3 = 5 \cdot 5^k — 4k — 4 — 3.
\)
Выделим:
\(
= 5(5^k — 4k — 3) + 16k + 8.
\)
По предположению индукции \(5^k > 4k + 3\), значит \(5^k — 4k — 3 > 0\), а \(16k + 8 > 0\) при \(k \geq 2\).
Следовательно,
\(
5^{k+1} — (4(k + 1) + 3) > 0,
\)
то есть неравенство верно при \(n = k + 1\).

По принципу математической индукции неравенство доказано для всех \(n \geq 2\).

Доказать кратность:
\(
(24^n + 37 \cdot 5^n) : 19,
\)
то есть показать, что \(24^n + 37 \cdot 5^n\) делится на 19 для всех натуральных \(n\).

Проверим при \(n = 1\):
\(
24^1 + 37 \cdot 5^1 = 24 + 185 = 209.
\)
Проверим делимость:
\(
209 : 19 = 11,
\)
целое число, значит делится.

Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть
\(
24^k + 37 \cdot 5^k
\)
делится на 19.

Докажем для \(n = k + 1\):
\(
24^{k+1} + 37 \cdot 5^{k+1} = 24 \cdot 24^k + 37 \cdot 5 \cdot 5^k.
\)
Вынесем общий множитель:
\(
= 24 \cdot 24^k + 185 \cdot 5^k = 5(24^k + 37 \cdot 5^k) + 19 \cdot 24^k.
\)
По предположению индукции \(24^k + 37 \cdot 5^k\) делится на 19, значит
\(
5(24^k + 37 \cdot 5^k)
\)
тоже делится на 19, и \(19 \cdot 24^k\) явно делится на 19.

Следовательно, сумма делится на 19, что и требовалось доказать.